函数优化方法全解析

# 函数优化方法全解析 ## 1. 优化问题概述 在函数优化领域，我们所面对的函数可以分为单参数函数 \(y = f(x)\) 和多参数函数 \(y = f (x_1,x_2,\cdots,x_M) = f (x)\)，这里 \(x = (x_1,x_2,\cdots,x_M)\)，涵盖了从二维曲线到 M 维超曲面的各种情况。如果函数没有最优解，那么显然无需进行优化。对于只有一个最优解的曲线或超曲面，通常可以使用解析方法直接计算出最优位置。然而，实际应用中绝大多数问题都属于具有多个最优解的非线性函数，这类问题会带来严重的挑战。 ## 2. 微积分优化方法 ### 2.1 单最优解函数示例 我们先来看一个具有一个最小值和一个最大值的单参数函数示例： ```mathematica Clear["Global‘*"]; <<CIP‘Graphics‘ function = 1.0 + 1.0*x + 0.4*x^2 - 0.1*x^3; pureFunction = Function[argument, function /. x -> argument]; argumentRange = {-2.0, 5.0}; functionValueRange = {0.0, 6.0}; labels = {"x", "y", "Function with one minimum and one maximum"}; CIP‘Graphics‘Plot2dFunction[pureFunction, argumentRange, functionValueRange, labels]; ``` 为了计算该函数的最优位置，我们需要进行以下步骤： 1. **求一阶导数**： ```mathematica firstDerivative = D[function, x] ``` 这里得到一阶导数为 \(1 + 0.8x - 0.3x^2\)。 2. **求一阶导数的根**： ```mathematica roots = Solve[firstDerivative == 0, x] ``` 解得根为 \(\{\{x \to -0.927443\}, \{x \to 3.59411\}\}\)。 3. **求二阶导数**： ```mathematica secondDerivative = D[function, {x, 2}] ``` 二阶导数为 \(0.8 - 0.6x\)。 4. **分析最优解类型**： ```mathematica secondDerivative /. roots[[1]] secondDerivative /. roots[[2]] ``` 当二阶导数大于 0 时，对应位置为最小值；当二阶导数小于 0 时，对应位置为最大值。 5. **确定最小和最大点并可视化**： ```mathematica minimumPoint = {x /. roots[[1]], function /. roots[[1]]}; maximumPoint = {x /. roots[[2]], function /. roots[[2]]}; points2D = {minimumPoint, maximumPoint}; CIP‘Graphics‘Plot2dPointsAboveFunction[points2D, pureFunction, labels, GraphicsOptionArgumentRange2D -> argumentRange, GraphicsOptionFunctionValueRange2D -> functionValueRange]; ``` ### 2.2 多最优解函数示例 然而，对于具有多个（甚至无限个）最优解的函数，解析方法往往会失效。例如： ```mathematica function = 1.0 - Cos[x] / (1.0 + 0.01*x^2); pureFunction = Function[argument, function /. x -> argument]; argumentRange = {-10.0, 10.0}; functionValueRange = {-0.2, 2.2}; labels = {"x", "y", "Function with multiple optima"}; CIP‘Graphics‘Plot2dFunction[pureFunction, argumentRange, functionValueRange, labels]; ``` 虽然可以求出一阶导数： ```mathematica firstDerivative = D[function, x] ``` 但在求解一阶导数的根时会失败： ```mathematica roots = Solve[firstDerivative == 0, x] ``` 对于多参数函数，情况会更糟，因为需要求解的是一个 M 个（通常是非线性）方程的系统，一般无法用解析方法求解。所以，基于微积分的解析优化方法只适用于简单的非线性特殊情况，而大多数科学优化问题都过于复杂，难以用这种方法解决。这也是数字计算机能够推动科学发展的原因之一，它们使得迭代搜索方法成为可能，用于近似求解更复杂的优化问题。 ## 3. 迭代优化方法 ### 3.1 迭代优化策略分类 迭代优化方法通常只能近似求解曲线和超曲面的最优解，且不能保证一定成功。主要有两种基本类型的迭代优化策略： - **局部优化**：从一个起始位置开始，迭代搜索方法试图找到至少一个局部最优解（不一定是离起始位置最近的最优解）。局部最优解通常与全局最优解不同。 - **全局优化**：迭代搜索方法试图在预先定义的搜索空间内找到全局最优解。 全局迭代优化通常比局部优化计算量更大，速度更慢。这两种优化策略都可能因为以下两个原因失败： - **函数相关问题**：待优化的函数本身可能没有最优解（如直线或超平面），或者形状不佳。 - **迭代搜索相关问题**：搜索算法可能遇到数值问题（如除以零），或者在允许的最大迭代次数内无法找到所需精度的最优解。如果搜索算法陷入最优解附近的振荡，增加迭代次数也可能无法解决问题。不合适的起始位置或搜索空间也可能导致问题，例如搜索算法依赖二阶导数信息，但在搜索区域内函数的曲率实际上为零。 ### 3.2 不利起始位置示例 以下是一个不利于最小化检测的起始位置示例： ```mathematica function = 1.0 / x^12 - 1 / x^6; pureFunction = Function[argument, function /. x -> argument]; xStart = 6.0; startPointForOptimization = {xStart, pureFunction[xStart]}; points2D = {startPointForOptimization}; argumentRange = {0.5, 7.0}; functionValueRange = {-0.3, 0.2}; labels = {"x", "y", "Where to go for the minimum?"}; CIP‘Graphics‘Plot2dPointsAboveFunction[points2D, pureFunction, labels, GraphicsOptionArgumentRange2D -> argumentRange, GraphicsOptionFunctionValueRange2D -> functionValueRange]; ``` 在这个起始位置，函数的斜