柔性集合的运算、笛卡尔积与柔性关系

# 柔性集合的运算、笛卡尔积与柔性关系 ## 1. 正交柔性子集的交并运算 ### 1.1 基本概念 设 \(U = [a, b]\) 和 \(V = [c, d]\)，考虑二维乘积测量空间 \(U \times V\) 中正交柔性集 \(A\) 和 \(B\) 的复合集 \(A \cap B\) 和 \(A \cup B\)。 - **交集 \(A \cap B\)：** 根据柔性集交集的定义，保留柔性集 \(A\) 和 \(B\) 的支撑集交集和核心交集，得到一个矩形区域，这就是正交柔性集 \(A\) 和 \(B\) 的交集 \(A \cap B\)，其几何形状是空间 \(U \times V\) 中的一个柔性块。 - **并集 \(A \cup B\)：** 依据柔性集并集的定义，保留图中 \(A\) 和 \(B\) 的支撑集和核心，得到一个交叉区域，即正交柔性集 \(A\) 和 \(B\) 的并集 \(A \cup B\)。可以观察到，正交柔性集 \(A\) 和 \(B\) 的复合集 \(A \cap B\) 和 \(A \cup B\) 仍然是 \(U \times V\) 中的柔性集。 ### 1.2 交集的隶属函数 柔性交集 \(A \cap B\) 的隶属函数分析如下： - 柔性边界：\(A \cap B\) 的柔性边界（即矩形区域周围的白色部分）可看作由 \(A\) 和 \(B\) 的柔性边界部分拼接而成。 - 核心：从 \(x\) 轴方向看，\(A \cap B\) 的核心是原 \(A\) 核心的一部分；从 \(y\) 轴方向看，\(A \cap B\) 的核心是原 \(B\) 核心的一部分。 - 隶属度计算：在 \(A \cap B\) 的支撑集中，核心左右边界（\(x\) 方向）上的点，其对柔性集 \(A\) 的原隶属度就是对柔性集 \(A \cap B\) 的隶属度；核心上下边界（\(y\) 方向）上的点，其对柔性集 \(B\) 的隶属度就是对柔性集 \(A \cap B\) 的隶属度。 其隶属函数表达式为： \[ m_{A \cap B}(x, y) = \begin{cases} \frac{x - s^-_{A}}{c^-_{A} - s^-_{A}}, & (x, y) \in a_1 \\ \frac{s^+_{A} - x}{s^+_{A} - c^+_{A}}, & (x, y) \in a_2 \\ 1, & (x, y) \in core(A \cap B) \\ \frac{y - s^-_{B}}{c^-_{B} - s^-_{B}}, & (x, y) \in b_1 \\ \frac{s^+_{B} - y}{s^+_{B} - c^+_{B}}, & (x, y) \in b_2 \\ 0, & (x, y) \notin core(A \cap B) \cup a_1 \cup a_2 \cup b_1 \cup b_2 \end{cases} \] 其中，\(s^-_{A}\) 和 \(s^+_{A}\) 分别是柔性集 \(A \cap B\) 关于 \(x\) 的负和正临界点，\(c^-_{A}\) 和 \(c^+_{A}\) 是 \(A \cap B\) 关于 \(x\) 的负和正核心边界点；\(s^-_{B}\) 和 \(s^+_{B}\) 是 \(A \cap B\) 关于 \(y\) 的负和正临界点，\(c^-_{B}\) 和 \(c^+_{B}\) 是 \(A \cap B\) 关于 \(y\) 的负和正核心边界点。 该隶属函数也可表示为： \[m_{A \cap B}(x, y) = \min \{m_A(x), m_B(y)\}, x \in U, y \in V\] ### 1.3 并集的隶属函数 对于任意点 \((x, y) \in U \times V\)： - 若 \((x, y) \in supp(A)\) 且 \((x, y) \notin supp(B)\)，则 \(m_{A \cup B}(x, y) = m_A(x, y)\)； - 若 \((x, y) \in supp(B)\) 且 \((x, y) \notin supp(A)\)，则 \(m_{A \cup B}(x, y) = m_B(x, y)\)； - 若 \((x, y) \in supp(A) \cap supp(B)\)，则 \(m_{A \cup B}(x, y) = \max \{m_A(x), m_B(y)\}\)； - 若 \((x, y) \notin supp(A) \cup supp(B)\)，则 \(m_{A \cup B}(x, y) = 0\)。 综上，柔性集 \(A \cup B\) 的隶属函数为： \[m_{A \cup B}(x, y) = \max \{m_A(x), m_B(y)\}, x \in U, y \in V\] ### 1.4 n 维空间的推广 二维空间中正交柔性集的交并隶属函数可推广到 \(n\) 维空间。设 \(A_1, A_2, \cdots, A_n\) 是 \(n\) 维乘积测量空间 \(U = U_1 \times U_2 \times \cdots \times U_n\) 中的两两正交柔性子集，其交集和并集的隶属函数分别为： - 交集：\(m_{A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n}(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \min \{m_{A_1}(x_1), m_{A_2}(x_2), \cdots, m_{A_n}(x_n)\}\) - 并集：\(m_{A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n}(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \max \{m_{A_1}(x_1), m_{A_2}(x_2), \cdots, m_{A_n}(x_n)\}\) ## 2. 柔性集合的笛卡尔积 ### 2.1 定义 设 \(A\) 和 \(B\) 分别是一维测量空间 \(U = [a, b]\) 和 \(V = [c, d]\) 中的柔性集，\(A \times B\) 称为柔性集 \(A\) 和 \(B\) 的笛卡尔积，其核心和支撑集定义如下： - \(core(A \times B) = core(A) \times core(B)\) - \(supp(A \times B) = supp(A) \times supp(B)\) ### 2.2 隶属函数分析 对于 \(\forall (x, y) \in U \times V\)，\(m_{A \times B}(x, y)\) 应是 \(m_A(x)\) 和 \(m_B(y)\) 的某种运算或函数。由于笛卡尔积中 \((x, y)\) 的两个坐标分量都对隶属度有贡献，不同于交集，所以不能采用 \(m_{A \cap B}(x, y) = \min \{m_A(x), m_B(y)\}\) 的形式。考虑隶属函数的约束 \(0 \leq m_{A \times B}(x, y) \leq 1\)，尝试将 \(m_{A \times B}(x, y)\) 设为 \(m_A(x)\) 和 \(m_B(y)\) 的加权和： \[ m_{A \times B}(x, y) = \begin{cases} w_1m_A(x) + w_2m_B(y), & m_A(x) \neq 0 \land m_B(y) \neq 0 \\ 0, & m_A(x) = 0 \lor m_B(y) = 0 \end{cases} \] 其中 \(x \in U\)，\(y \in V\)，\(w_1, w_2 \in (0, 1)\) 且 \(w_1 + w_2 = 1\)。 ### 2.3 不同情况分析 - **\((x, y) \in core(A \times B)\)：** 由定义可知 \((x, y) \in core(A) \times core(B)\)，即 \(x \in core(A)\) 且 \(y \in core(B)\)，则 \(m_{A \times B}(x, y) = w_1m_A(x) + w_2m_B(y) = w_1 \cdot 1 + w_2 \cdot 1 = w_1 + w_2 = 1\)。 - **\((x, y) \in supp(A \times B)\)：** 可得 \(x \in supp(A)\) 且 \(y \in supp(B)\)，\(0 < m_A(x) \leq