覆盖粗糙集与集装箱堆场分配策略研究

### 覆盖粗糙集与集装箱堆场分配策略研究 #### 覆盖诱导的二元关系 在集合论中，对于集合 $U$ 的覆盖 $C$，我们可以定义一种特殊的二元关系。设 $C$ 是 $U$ 的一个覆盖，定义 $xRy \Leftrightarrow y \in CF(x)$，这种关系被称为由覆盖 $C$ 诱导的亲密朋友元素关系，记为 $R$，其对应的关系矩阵记为 $M_R$。若 $x_iRx_j$，则 $R(x_i, x_j) = 1$，否则为 $0$。 例如，当 $U = \{a, b, c\}$，$C = \{\{a, b\}, \{b, c\}\}$ 时，$R$ 的关系矩阵为： $M_R = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ 二元关系 $R$ 具有多种性质，具体如下表所示： |性质|定义| | ---- | ---- | |自反性|$\forall a \in U, aRa$| |非自反性|$\forall a \in U, aR^c a$，$R^c$ 是 $R$ 的补关系| |对称性|$aRb \Rightarrow bRa$| |反对称性|$aRb$ 且 $bRa \Rightarrow a = b$| |非对称性|$aRb \Rightarrow bR^c a$| |完全性|对于 $a \neq b$，$aRb$ 或 $bRa$| |强完全性|$aRb$ 或 $bRa$| |传递性|$aRb$ 且 $bRc \Rightarrow aRc$| |负传递性|$aR^c b$ 且 $bR^c c \Rightarrow aR^c c$| |费勒斯关系|$aRb$ 且 $bRc \Rightarrow aRd$ 或 $dRc$| |半传递性|$aRb$ 且 $cRd \Rightarrow aRd$ 或 $cRb$| |串行性|$\forall a, \exists b$ 使得 $aRb$| |欧几里得性|$aRb$ 且 $aRc \Rightarrow bRc$| 可以证明，由覆盖 $C$ 诱导的亲密朋友关系 $R$ 是自反且串行的。但除了自反性和串行性外，$R$ 不满足其他性质。以下是具体的证明过程： - **非自反性不成立**：因为已经证明了自反性成立，所以非自反性不成立。 - **对称性不成立**：存在 $d \in CF(c)$，但 $c \notin CF(d)$ 的情况。 - **反对称性不成立**：有 $a \in CF(b)$ 且 $b \in CF(a)$，但 $a \neq b$。 - **非对称性不成立**：$b \in CF(a)$，但并非 $a \notin CF(b)$。 - **完全性不成立**：存在 $a \in U$，有 $aRa$，不满足完全性的定义。 - **强完全性不成立**：对于 $a, d \in U$，有 $a \notin CF(d)$ 且 $d \notin CF(a)$。 - **传递性不成立**：$d \in CF(b)$，$b \in CF(a)$，但 $d \notin CF(a)$。 - **负传递性不成立**：$d \notin CF(a)$，$a \notin CF(c)$，但 $d \notin CF(c)$。 - **费勒斯关系不成立**：当 $c, d$ 满足 $cRa$，$cRb$，$dRa$，$dRb$ 时，费勒斯关系不成立。 - **半传递性不成立**：存在满足 $aRb$ 和 $bRc$，但不满足 $aRd$ 或 $dRc$ 的情况。 - **欧几里得性不成立**：$d \in CF(b)$ 且 $d \in CF(c)$，但 $b \notin CF(c)$。 #### 矩阵描述的上下近似 对于任意 $X \subseteq U$，$X$ 的特征函数 $X(x)$ 定义为： $X(x) = \begin{cases} 1, & x \in X \\ 0, & x \notin X \end{cases}$ 设 $C$ 是 $U$ 的覆盖，$M_R$ 是由 $C$ 诱导的亲密朋友元素关系 $R$ 的关系矩阵，$M_{\sim R} = 1 - M_R$ 是 $M_R$ 的补关系矩阵。则 $X$ 的上下近似可以表示为： $H_R(x) = \bigvee_{y \in U} (M_R(x, y) \wedge X(y))$ $L_R(x) = \bigwedge_{y \in U} ((1 - M_R(x, y)) \vee X(y))$ 定义 $H_R(X) = \{x | H_R(x) = 1\}$，$L_R(X) = \{x | L_R(x) = 1\}$。可以证明，对于任意 $X \subseteq U$，有 $H_R(X) = H(X)$，$L_R(X) = L(X)$。 如果将集合写成 $n$ 维列向量，其特征函数的值 $0$ 和 $1$ 构成列向量，那么上下近似可以用矩阵表示为： $H_R(X) = M_R \vee \wedge X$ $L_R(X) = M_{\sim R} \wedge \vee X$ 例如，当 $U = \{a, b, c, d, e\}$，$C = \{\{a, b\}, \{a, d\}, \{b, c\}, \{c, d, e\}, \{e\}\}$，$X = \{b, c, d\}$ 时： $L(X) = \{c\}$，$H(X) = \{a, b, c, d\}$ $L_R(X) = M_{\sim R} \wedge \vee X = \beg