Unicorn：统一的连续介质力学求解器

### Unicorn：统一的连续介质力学求解器 #### 1. 离散 UC 方程与网格速度选择 在网格的固体部分选择 $\beta_h = U$ 可得到相对流方程的平凡解，此时可将其从系统中移除。由此得到的离散 UC 方程由残差定义： \[ \begin{cases} R_u(W) = \rho \left( \frac{\partial U_i}{\partial t} + (U_j - \beta_{h_j}) \frac{\partial U_i}{\partial x_j} \right) - \frac{\partial}{\partial x_j} (\Sigma_{D_{ij}} - P\delta_{ij}) - f_i \\ R_p(W) = \frac{\partial U_j}{\partial x_j} \end{cases} \] 我们选择在网格的结构部分（与结构单元接触的顶点），网格速度 $\beta_h$ 为离散材料速度 $U$；在网格的其余部分，使用网格平滑来确定 $\beta_h$ 以最大化网格质量。或者，也可以使用局部网格修改操作（细化、粗化、交换）来维持网格质量。 #### 2. 加权最小二乘法稳定化 标准有限元法（FEM）公式是不稳定的。因此，我们考虑一种加权标准最小二乘法，形式为 $\langle R(W), v + \delta R(v) \rangle = 0$，对于所有 $v \in \hat{V}_{hk}$，其中 $\delta > 0$ 是稳定化参数。通过去掉包含时间导数和 $\Sigma_D$ 的稳定项进行简化，虽然不完全一致，但可避免剪切层的不必要涂抹。对于 UC 模型，稳定化方法采用以下形式： \[ \begin{cases} \langle R_u(W), v_u \rangle = \langle \rho(\frac{\partial U_i}{\partial t} + U_j \frac{\partial U_i}{\partial x_j}) - f_i, v_{u_i} \rangle + \langle \Sigma_{D_{ij}} - P\delta_{ij}, \frac{\partial}{\partial x_j} v_{u_i} \rangle + S_{D_u}(W, v_u) = 0 \\ \langle R_p(W), v_p \rangle = \langle \frac{\partial U_j}{\partial x_j}, v_p \rangle + S_{D_p}(W, v_p) = 0 \end{cases} \] 对于所有 $v \in \hat{V}_{hk}$，其中 \[ \begin{cases} S_{D_u}(W, v_u) = \delta_1 \langle U_j \frac{\partial U_i}{\partial x_j} + \frac{\partial P\delta_{ij}}{\partial x_i}, U_j \frac{\partial v_{u_i}}{\partial x_j} \rangle + \delta_2 \langle \frac{\partial U_j}{\partial x_j}, \frac{\partial v_{u_j}}{\partial x_j} \rangle \\ S_{D_p}(W, v_p) = \delta_1 \langle \frac{\partial P\delta_{ij}}{\partial x_i} + U_j \frac{\partial U_i}{\partial x_j}, \frac{\partial v_p}{\partial x_i} \rangle \end{cases} \] #### 3. Unicorn 求解器的实现概述 Unicorn 求解器类 UCSolver 将 Unicorn 库中的技术与 FEniCS 的其他部分结合起来，为连续介质力学中的应用模拟提供接口。求解器实现的主要部分是 UC 模型 G2 离散化的弱形式，以及用于误差估计的应力和残差形式。应用中的系数与形式相连，然后由 TimeDependentPDE 类进行时间步推进。某些系数，如 $\delta$ 稳定化系数，也是求解器的一部分（不是作为形式）。求解器计算自适应算法的一次迭代（原问题求解、对偶问题求解和网格细化），自适应循环通过对一系列网格迭代运行求解器来实现。 UCSolver 实现针对分布式内存架构使用 MPI 进行并行化，在多个平台上数百个核心具有强扩展性。整个自适应算法是并行的，包括 Rivara 网格细化和先验预测负载平衡。Unicorn 可以高效模拟大规模并行的湍流不可压缩流应用。 除了不可压缩流的 UCSolver，还有适用于可压缩欧拉流自适应 G2 的 CNSSolver 可压缩变体，其一般方法和算法与 UCSolver 非常接近，长期目标是统一不可压缩/可压缩公式。 #### 4. Unicorn 类和接口 以下是一些关键的类和接口： | 类/接口 | 功能 | | ---- | ---- | | TimeDependentPDE | 时间步推进，在每个时间步通过定点迭代求解非线性代数系统 | | ErrorEstimate | 自适应误差控制，基于计算局部误差指标 $\eta_K = \| hR(U) \|_T \| DZ \|_T$，其中 $Z$ 是所谓的对偶解 | | SpaceTimeFunction | 存储和评估时空函数/系数 | | SlipBC | 摩擦边界条件，通过摩擦模型模拟湍流边界层，强实现滑移边界条件 $u \cdot n = 0$ | | ElasticSmoother | 弹性网格平滑/优化，根据弹性类比优化单元质量 | | MeshAdaptInterface | 网格自适应接口，抽象了使用局部网格操作进行网格自适应的 MAdLib 包的接口 | #### 5. TimeDependentPDE 类 考虑一般的时变方程 $\frac{\partial}{\partial t} u + A(u) = 0$，其中 $A$ 是可能的非线性空间微分算子。我们定义一个类来抽象 G2 方法的时间步推进，通过应用简化的牛顿法实现 cG(1)cG(1) 方法的时间步自动生成，封装在 C+