无线通信中路径优化与近似算法研究

### 无线通信中路径优化与近似算法研究 #### 1. 集奖赏红蓝中位数问题相关理论 在集奖赏红蓝中位数问题的研究中，有几个重要的命题和引理。 - **命题相关内容** - **命题 2**：对于每个 \(t \in \{1, \ldots, \tau\}\)，有 \(\sum_{B\in B} \delta(T(B_{out}), t) \cdot \sum_{B\in B} \delta(T(B_{in}), t) = 0\)。 - **命题 3**：对于每个 \(A \in A\) 和 \(i \in A_{out}\) 且 \(\phi^{-1}(i) \neq \emptyset\)，有 \(\eta(i) \in A_{in}\)。 - **命题 4**：对于每个 \(A \in A\) 和 \(t \in \{1, \ldots, \tau\}\)，\(\vert A_{out} \cap S_{t} \vert = \vert A_{in} \cap O_{t} \vert \leq 2\tau\)。 - **命题 5**：每个设施 \(i \in S \cup O\) 在来自 \(A\) 的交换对中恰好出现一次。 - **成本增加上界策略** 考虑一个交换对 \(A \in A\)，关闭 \(A_{out}\) 中的设施并打开 \(A_{in}\) 中的设施，然后重新连接来自 \(N(A_{out})\cup N^*(A_{in})\) 的客户端。具体策略如下： - 每个 \(j \in N^*(A_{in})\) 重新连接到 \(o_j\)（根据 \(N^*(∗)\) 的定义，\(o_j\) 保证是打开的）。 - 支付来自 \(N(A_{out}) \cap P^*\) 的客户端的惩罚成本。 - 来自 \(N(A_{out})\setminus P^*\) 的客户端应重新连接到附近打开的设施。根据命题 3，对于每个 \(i \in A_{out}\)，\(\eta(i)\) 是打开的。对于 \(j \in N(A_{out})\setminus P^*\) 的重新连接策略如下： - 如果 \(o_j \in A_{in}\)，则 \(j\) 重新连接到 \(o_j\)。 - 如果 \(o_j \notin A_{in}\) 且 \(\phi(o_j) \notin A_{out}\)，则 \(j\) 重新连接到 \(\phi(o_j)\)。 - 如果 \(o_j \notin A_{in}\) 且 \(\phi(o_j) \in A_{out}\)，则 \(j\) 重新连接到 \(\eta(\phi(o_j))\)。 以下是该重新连接策略的流程图： ```mermaid graph TD; A[j属于N(Aout)\P*] --> B{oj是否属于Ain}; B -- 是 --> C[j重新连接到oj]; B -- 否 --> D{φ(oj)是否属于Aout}; D -- 是 --> E[j重新连接到η(φ(oj))]; D -- 否 --> F[j重新连接到φ(oj)]; ``` - **引理相关内容** - **引理 1**：对于每个 \(j \in C\setminus (P^* \cup P)\)，有 \(d(j, \phi(o_j)) \leq 2O_j + S_j\) 且 \(d(j, \eta(\phi(o_j))) \leq 3O_j + 2S_j\)。 - **引理 2**：对于每个交换对 \(A \in A\)，有 \(0 \leq \sum_{j\in N^*(A_{in})\cap P} (O_j - p(j)) + \sum_{j\in N^*(A_{in})\setminus P} (O_j - S_j) + \sum_{j\in N(A_{out})\cap P^*} (p(j) - S_j) + \sum_{j\in [N(A_{out})\setminus P^*]\setminus N^*(\phi^{-1}(A_{out})\cup A_{in})} 2O_j + \sum_{j\in N^*(\phi^{-1}(A_{out})\setminus A_{in})\cap N(A_{out})} (3O_j + S_j)\)。 #### 2. 交换对的分层结构 不等式 (1) 包含了不同客户端的多种项，如 \(C\setminus P^*\) 中客户端的 “\(+O_j\)” 项，\(C\setminus P\) 中客户端的 “\(-S_j\)” 项，\(P^*\) 中客户端的 “\(+p(j)\)” 项和 \(P\) 中客户端的 “\(-p(j)\)” 项。为了获得局部最优解的近似保证，需要将一些这样的不等式相加，以得到 \(O(1)(\sum_{j\in C\setmi