灵活规则伴随函数的分析与构建

### 灵活规则伴随函数的分析与构建 #### 1. 灵活规则伴随函数的图形空间分析 在处理灵活规则时，由于准确获得其伴随函数的表达式往往很困难甚至不可能，所以我们主要考虑这些函数的近似表达式。为此，我们先对这些伴随函数的图形空间进行分析。 命题的真值度在数值上等同于一致性程度或隶属度，所以规则的伴随真值度函数本质上与伴随程度函数相同。而且，基于一致性程度的程度函数涵盖了基于隶属度的程度函数，因此下面我们主要考虑前者。 ##### 1.1 程度函数的图形空间 - **单条件规则**：对于单条件规则 \(A \to B\)，规则的逻辑语义“若 \(t(A(x)) > 0.5\) 则 \(t(B(y)) > 0.5\)”在一致性程度层面体现为“若 \(c_A(x) > 0.5\) 则 \(c_B(y) > 0.5\)”。对于程度函数 \(d_B = f_d(d_A)\)，实际上只需考虑区间 \((0.5, \beta_A]\) 上的函数段。所以，单条件规则 \(A \to B\) 的程度函数的图形空间为 \((0.5, \beta_A] \times (0.5, \beta_B]\)，这个空间比原始空间 \([\alpha_A, \beta_A] \times [\alpha_B, \beta_B]\) 小很多。 - **多条件规则**： - **合取型规则 \(A_1 \land A_2 \to B\)**：在“\(c_{A_1 \land A_2}(x_1, x_2) > 0.5\)”和规则逻辑语义的约束下，其程度函数的图形空间为 \(((0.5, \beta_1] \times (0.5, \beta_2]) \times (0.5, \beta]\)。 - **析取型规则 \(A_1 \lor A_2 \to B\)**：其程度函数的图形空间为 \(((0.5, \beta_1] \times (\alpha_2, \beta_2]) \cup ((\alpha_1, \beta_1] \times (0.5, \beta_2]) \times (0.5, \beta]\)。 - **综合型规则 \(A_1 \oplus A_2 \to B\)**：其程度函数的图形空间为 \(R \times (0.5, \beta]\)，其中 \(R = \{(d_1, d_2)|(d_1, d_2) \in [\alpha_1, \beta_1] \times [\alpha_2, \beta_2] \text{ 且 } w_1d_1 + w_2d_2 > 0.5, w_1 + w_2 = 1\}\)。 下面用表格总结不同类型规则程度函数的图形空间： | 规则类型 | 图形空间 | | ---- | ---- | | 单条件规则 \(A \to B\) | \((0.5, \beta_A] \times (0.5, \beta_B]\) | | 合取型规则 \(A_1 \land A_2 \to B\) | \(((0.5, \beta_1] \times (0.5, \beta_2]) \times (0.5, \beta]\) | | 析取型规则 \(A_1 \lor A_2 \to B\) | \(((0.5, \beta_1] \times (\alpha_2, \beta_2]) \cup ((\alpha_1, \beta_1] \times (0.5, \beta_2]) \times (0.5, \beta]\) | | 综合型规则 \(A_1 \oplus A_2 \to B\) | \(R \times (0.5, \beta]\)，\(R = \{(d_1, d_2)|(d_1, d_2) \in [\alpha_1, \beta_1] \times [\alpha_2, \beta_2] \text{ 且 } w_1d_1 + w_2d_2 > 0.5, w_1 + w_2 = 1\}\) | ##### 1.2 测量函数的图形空间 从规则的逻辑语义和粗略真值推理的要求出发，对于单条件规则 \(A \to B\)，若 \(A\) 和 \(B\) 为全峰值，其伴随测量函数的图形空间为 \((m_A^-, m_A^+) \times (m_B^-, m_B^+)\)，这与规则的数值模型表示一致，且比概念上的函数空间 \((s_A^-, s_A^+) \times (s_B^-, s_B^+)\) 大大减小。 对于多条件规则： - 合取型规则 \(A_1 \land A_2 \to B\) 的伴随测量函数图形空间为 \([(m_{A_1}^-, m_{A_1}^+) \times (m_{A_2}^-, m_{A_2}^+)] \times (m_B^-, m_B^+)\)。 - 析取型规则 \(A_1 \lor A_2 \to B\) 的伴随测量函数图形空间为 \([((m_{A_1}^-, m_{A_1}^+) \times (s_{A_2}^-, s_{A_2}^+)) \cup ((m_{A_2}^-, m_{A_2}^+) \times (s_{A_1}^-, s_{A_1}^+))] \times (m_B^-, m_B^+)\)。 - 综合型规则 \(A_1 \oplus A_2 \to B\) 的伴随测量函数图形空间为 \(R \times (m_B^-, m_B^+)\)，其中 \(R = \{(x_1, x_2)|(x_1, x_2) \in (s_{A_1}, n_{A_1}] \times (s_{A_2}, n_{A_2}] \text{ 且 } w_1m_{A_1}(x_1) + w_2m_{A_2}(x_2) > 0.5, w_1 + w_2 = 1\}\)。 下面是不同类型规则测量函数图形空间的表格总结： | 规则类型 | 图形空间 | | ---- | ---- | | 单条件规则 \(A \to B\) | \((m_A^-, m_A^+) \times (m_B^-, m_B^+)\) | | 合取型规则 \(A_1 \land A_2 \to B\) | \([(m_{A_1}^-, m_{A_1}^+) \times (m_{A_2}^-, m_{A_2}^+)] \times (m_B^-, m_B^+)\) | | 析取型规则 \(A_1 \lor A_2 \to B\) | \([((m_{A_1}^-, m_{A_1}^+) \times (s_{A_2}^-, s_{A_2}^+)) \cup ((m_{A_2}^-, m_{A_2}^+) \times (s_{A_1}^-, s_{A_1}^+))] \times (m_B^-, m_B^+)\) | | 综合型规则 \(A_1 \oplus A_2 \to B\) | \(R \times (m_B^-, m_B^+)