规范对偶理论及其在非凸系统中的应用

# 规范对偶理论及其在非凸系统中的应用 ## 1. 规范对偶函数与相关定理 ### 1.1 规范对偶函数的推导 考虑如下平衡方程： \[ \begin{cases} -\nabla\cdot \tau^T(x) = f & \text{in } \Omega \\ n \cdot \tau^T = \overline{t} & \text{on } \Gamma_t \end{cases} \] 规范对偶泛函 \(P^d(T)\) 可表示为： \[P^d(T) = -\int_{\Omega} \frac{1}{2}\text{tr}(\tau \cdot T^{-1} \cdot \tau^T + T) d\Omega - \int_{\Omega} V^*(T) d\Omega\] 对 \(P^d(T)\) 取变分并令其为 0，即 \(\delta P^d(T) = 0\)，可得到规范对偶方程： \[T \cdot (2 \delta V^*(T) + I) \cdot T = \tau^T \cdot \tau\] 对于圣维南 - 柯西材料，\(V^*(T) = \frac{1}{2}T : D^{-1} : T\) 是二次函数，其 Gâteaux 导数 \(\delta V^*(T) = D^{-1} \cdot T\) 是线性的。此时，规范对偶方程是一个三次方程。 ### 1.2 纯互补能量原理 存在如下定理：假设对于给定的力场 \(\overline{t}(x)\) 在 \(\Gamma_t\) 上，第一 Piola - Kirchhoff 应力场 \(\tau(x)\) 由上述平衡方程定义。则规范对偶方程的每个解 \(\overline{T}\) 是 \(P^d\) 的临界点，由线积分定义的向量 \(\overline{u} = \int \tau \cdot \overline{T}^{-1}dx\) 是 \(P(u)\) 的临界点，且 \(P(\overline{u}) = P^d(\overline{T})\)。该定理为非凸势变分问题提供了解析解，其临界点的极值性可通过互补间隙函数来识别。 ## 2. 规范对偶变换在半线性非凸系统中的应用 ### 2.1 非凸最小化问题的一般形式 考虑非凸最小化问题 \((P)\)： \[\min\{P(u) = W(u) + \frac{1}{2}\langle u, Au\rangle - \langle u, f\rangle : u \in U_k\}\] 其中 \(W(u) : U_k \to \mathbb{R}\) 是非凸函数，\(A : U_a \subset U \to U_a^*\) 是线性算子。若 \(W(u)\) 是 Gâteaux 可微的，\(\delta P(u) = 0\) 会导致非线性欧拉方程 \(Au + \delta W(u) = f\)。 ### 2.2 不同系统中的具体应用 - **超导理论中的 Landau - Ginzburg 方程**：在超导的 Landau - Ginzburg 理论中，\(A = \Delta\) 是给定空间域 \(\Omega \subset \mathbb{R}^n\) 上的拉普拉斯算子，\(W(u) = \int_{\Omega} \frac{1}{2}\alpha (\frac{1}{2}u^2 - \lambda)^2 d\Omega\) 是 Landau 双势阱势。此时，控制方程为 \(\Delta u + \alpha u(\frac{1}{2}u^2 - \lambda) = f\)，该方程在材料科学和物理学中具有重要作用。 - **液晶理论中的 Cahn - Hilliard 方程**：当 \(A = \Delta + \text{curl curl}\) 时，控制方程为 \(\Delta u + \text{curl curl} u + \alpha u(\frac{1}{2}u^2 - \lambda) = f\)，这是液晶理论中的 Cahn - Hilliard 方程。 - **动力学系统中的非线性 Schrödinger 方程**：在动力学系统中，若 \(A = -\partial_{tt} + \Delta\) 是给定时空域 \(\Omega \subset \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}\) 上的波算子，则控制方程为 \(-u_{tt} + \Delta u + \alpha u(\frac{1}{2}u^2 - \lambda) = f\)，该方程在物理学的多个分支中出现。 - **一维 Duffing 方程**：当 \(u\) 仅依赖于时间时，非线性 Schrödinger 方程简化为 Duffing 方程 \(u_{tt} = \alpha u(\frac{1}{2}u^2 - \lambda) - f\)，该方程对初始条件和输入非常敏感，传统方法难以求解。 ### 2.3 数值离散化后的非凸优化问题 数学物理中非凸变分问题的数值离散化通常会导致有限维空间 \(U = \mathbb{R}^n\) 中的非凸优化问题，此时原问题变为 \(\min\{P(x) = W(x) + \frac{1}{2}x^T Ax - x^T f : x \in \mathbb{R}^n\}\)，其中 \(A = A^T \in \mathbb{R}^{n\times n}\) 是对称矩阵。 ## 3. 无约束非凸优化问题（双势阱能量） ### 3.1 问题描述 考虑有限维空间 \(U = \mathbb{R}^n\) 中的无约束全局优化问题，\(W(x) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}|x|^2 - \lambda)^2\)，原问题为： \[\min\left\{P(x) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}|x|^2 - \lambda)^2 + \frac{1}{2}x^T Ax - x^T f : \forall x \in \mathbb{R}^n\right\}\] \(\delta P(x) = 0\) 会导致耦合的非线性代数系统： \[Ax + (\frac{1}{2}|x|^2 - \lambda)x = f\] ### 3.2 规范对偶变换求解步骤 1. 选择二次算子 \(\xi = \frac{1}{2}|x|^2\)，规范函数 \(V(\xi) = \frac{1}{2}(\xi - \lambda)^2\)，其值域 \(V_a = \{\xi \in \mathbb{R} : \xi \geq 0\}\)。 2. 在 \(V_a\) 上，规范对偶关系 \(\varsigma = \delta V(\xi) = \xi - \lambda\) 是一一对应的，其对偶值域 \(V_a^* = \{\varsigma \in \mathbb{R} : \varsigma \geq -\lambda\}\)。 3. Legendre 共轭 \(V^*(\varsigma) = \frac{1}{2}\varsigma^2 + \lambda\varsigma\)。 4. 对于给定的 \(\varsigma \in V_a^*\)，\(\Lambda\) - 共轭变换 \(U_{\Lambda}(\varsigma) = -\frac{1}{2}f^T (A + \varsigma I)^{-1} f\)，规范对偶问题为： \[\max\left\{P^d(\varsigma) = -\fra