灵活语言函数的近似评估方法

# 灵活语言函数的近似评估方法 ## 1. 单变量灵活语言函数的近似评估 ### 1.1 相关基础 在灵活语言函数的研究中，当函数值 \(B\) 和 \(B'\) 为全峰值时，由于直接设定 \(Y_{B'} = Y_{B}\)，所以无需计算距离 \(d_{B'B}\)。对于满足灵活语言函数 \(Y = f(X)\) 的一对对应值 \((A, B)\)，且 \(A'\) 近似于 \(A\)（\(A\) 和 \(A'\) 均为半峰值），可以通过一定方法得到相应的函数值 \(f(A') = B'\)。 ### 1.2 AT 近似评估方法步骤 具体步骤如下： 1. 找出灵活语言值 \(A\) 和 \(A'\) 的峰值点 \(\xi_{A}\) 和 \(\xi_{A'}\)，通过 \(\xi_{A}\) 和 \(\xi_{A'}\) 求出扩展核 \(X_{A'}\) 和 \(X_{A}\) 之间的距离 \(d_{A'A}\)。 2. 使用公式 \(d_{B'B}=\frac{r_{B}}{r_{A}}d_{A'A}\)（公式 (16.1)）或其他相关公式（公式 (16.2)）计算距离 \(d_{B'B}\)。 3. 根据值对 \((A, B)\) 所决定的方向对应关系，确定 \(Y_{B'}\) 相对于 \(Y_{B}\) 的方向，然后从以下公式中选择合适的公式来求出语言值 \(B'\) 的临界点 \(s_{B'}^{-}\) 和 \(s_{B'}^{+}\) 以及核心边界点 \(c_{B'}^{-}\) 和 \(c_{B'}^{+}\)，进而得到 \(B'\) 的扩展核，并写出 \(B'\) 的一致性函数 \(c_{B'}(y)\)（如果需要）；或者直接使用公式对语言值 \(B\) 的一致性函数 \(c_{B}(y)\) 进行平移变换来得到 \(B'\) 的 \(c_{B'}(y)\)。 ### 1.3 不同情况下的计算公式 当 \(B\) 为不同类型的值时，有以下不同的计算公式： - **负半峰值**： - 临界点：\(s_{B'}^{-} = s_{B}^{-} - d_{B'B}\)，\(s_{B'}^{+} = s_{B}^{+} - d_{B'B}\) - 核心边界点：\(c_{B'}^{-} = c_{B}^{-} - d_{B'B}\)，\(c_{B'}^{+} = c_{B}^{+} - d_{B'B}\) - 一致性函数：\(c_{B'}(y) = c_{B}(y + d_{B'B})\) - 峰值点：\(\xi_{B'} = \xi_{B} - d_{B'B}\) - **正半峰值**： - 临界点：\(s_{B'}^{-} = s_{B}^{-} + d_{B'B}\)，\(s_{B'}^{+} = s_{B}^{+} + d_{B'B}\) - 核心边界点：\(c_{B'}^{-} = c_{B}^{-} + d_{B'B}\)，\(c_{B'}^{+} = c_{B}^{+} + d_{B'B}\) - 一致性函数：\(c_{B'}(y) = c_{B}(y - d_{B'B})\) - 峰值点：\(\xi_{B'} = \xi_{B} + d_{B'B}\) - **全峰值**： - 临界点：\(s_{B'}^{-} = s_{B}^{-}\)，\(s_{B'}^{+} = s_{B}^{+}\) - 核心边界点：\(c_{B'}^{-} = c_{B}^{-}\)，\(c_{B'}^{+} = c_{B}^{+}\) - 一致性函数：\(c_{B'}(y) = c_{B}(y)\) - 峰值点：\(\xi_{B'} = \xi_{B}\) ### 1.4 AT 方法总结 这种方法被称为使用近似度传递和平移变换的近似评估方法，简称 AT 方法。该方法的两个关键技术为：一是从近似度 \(s_{A'A}\) 求出近似度 \(s_{B'B}\)，即将语言值 \(A'\) 和 \(A\) 的近似度通过对应关系 \((A, B)\) “传递” 到语言值 \(B\) 和 \(B'\)；另一个关键技术是平移变换。 ### 1.5 AT 方法的合理性和有效性分析 - **合理性**： - AT 方法基于灵活语言函数的数值模型，通过距离 \(d_{B'B}\) 和 \(d_{A'A}\) 的关系推导出对应背景函数的近似函数。例如，对于值对 \((A^{-}, B^{-})\)，可以得到近似函数 \(y = \xi_{B} - (\xi_{A} - x)\frac{\xi_{B} - m_{B}^{-}}{\xi_{A} - m_{A}^{-}}\)（\(m_{A}^{-} \leq x \leq \xi_{A}\)），这是一个线性函数，其图像是连接点 \((\xi_{A}, \xi_{B})\) 和 \((m_{A}^{-}, m_{B}^{-})\) 的线段，也是矩形区域 \(X_{A}^{-} \times Y_{B}^{-}\) 的对角线。这表明该近似函数能较好地近似背景函数，说明 AT 方法是合理的。 - 从公式中可以看出，当 \(d_{A'A} = 0\) 时，\(d_{B'B} = 0\)，即当 \(A' = A\) 时，通过 AT 方法得到的 \(B'\) 就是 \(B\)，这表明 AT 方法与传统二值逻辑中的假言推理是兼容的，进一步说明了其合理性。 - **有效性**： 设背景函数 \(f_{AB}(x)\) 与其对应近似函数 \(f_{AB}^*(x)\) 之间的误差为 \(e = |f_{AB}(x) - f_{AB}^*(x)|\)。由于背景函数 \(f_{AB}(x)\) 未知，所以误差 \(e\) 难以精确计算，但平均而言，误差 \(e\) 不应超过半区域 \(Y_{B}^{-}\) 或 \(Y_{B}^{+}\) 宽度的一半，即 \(e \leq \max\{widt(Y_{B}^{-}), widt(Y_{B}^{+})\}\)。AT 方法将一对全峰值拆分为两对半峰值，相当于将局部函数 \(f_{AB}(x)\) 分成两段，并进一步将这两段函数缩减到 \(A\) 的两个半扩展核上。对于这样的函数 \(f_{AB}(x)\)，使用线性函数 \(f_{AB}^*(x)\) 进行近似，误差不会很大。即使 \(f_{AB}(x)\) 是非线性和非单调的，由于公式中的参数 \(k\) 是可调的，加上取值范围的限制，误差也是有限且可控的。 ### 1.6 单变量灵活语言函数 AT 方法流程图 ```mermaid graph TD ```