图变换系统与切片语言中的可达性研究

### 图变换系统与切片语言中的可达性研究 在图论和自动机理论的交叉领域，图变换系统和切片语言的可达性问题是一个重要的研究方向。本文将深入探讨这一领域的相关概念、操作以及定理证明。 #### 1. 逆同态与切片自动机操作 - **逆同态**：设 $\alpha : \Sigma_1 \to \Sigma_2$ 是一个切片投影。若 $L$ 是 $\Sigma_2$ 上的切片语言，那么 $L$ 在 $\alpha$ 下的逆同态像为 $\alpha^{-1}(L) = \{D \in L(\Sigma_1) | \exists D' \in L, \alpha(D) = D'\}$。但需注意，$\alpha^{-1}(L)$ 不一定是切片语言，因为它可能包含非单位分解的切片序列。为消除这些不期望的序列，我们将 $\alpha^{-1}(L)$ 与 $\Sigma_1$ 上所有单位分解构成的切片语言 $L(\Sigma_1)$ 相交，即定义 $\alpha$ 的逆同态像为切片语言 $inv(L, \alpha) = \alpha^{-1}(L) \cap L(\Sigma_1)$。 - **切片自动机操作**：所有上述定义的操作，以及交集、并集和克林闭包操作，都可以在切片自动机上高效实现。具体如下： - 设 $A = (Q, R, Q_0, F)$ 是 $\Sigma = \Sigma(c, q, \nu, \Gamma_1, \Gamma_2)$ 上的切片自动机，$A' = (Q, R, Q_0, F)$ 是 $\Sigma' = \Sigma(c', q', \nu', \Gamma_1, \Gamma_2)$ 上的切片自动机。 1. 可以构造 $\Sigma \cup \Sigma'$ 上的切片自动机 $A \cup A'$，其状态数为 $|A| + |A'|$，使得 $L(A \cup A') = L(A) \cup L(A')$。 2. 可以构造 $\Sigma \cap \Sigma$ 上的切片自动机 $A \cap A'$，其状态数为 $|A| \cdot |A'|$，使得 $L(A \cap A') = L(A) \cap L(A')$。 3. 可以构造 $\Sigma$ 上的切片自动机 $A^+$，其状态数为 $|A|$，使得 $L(A^+) = L(A)^+$。 4. 对于任意切片投影 $\alpha : \Sigma \to \Sigma'$，可以构造 $\Sigma$ 上的切片自动机 $\alpha(A)$，其状态数为 $|A|$，使得 $L(\alpha(A)) = \alpha(L(A))$。 5. 可以构造 $\Sigma$ 上的切片自动机 $vsat(A)$，其状态数为 $|\Sigma| \cdot |A|$，使得 $L(vsat(A)) = vsat(L(A))$。 6. 可以构造 $\Sigma \otimes \Sigma'$ 上的切片自动机 $A \otimes A'$，其状态数为 $|A| \cdot |A'|$，使得 $L(A \otimes A') = L(A) \otimes L(A')$。 7. 可以构造 $\Sigma$ 上的切片自动机 $\Delta(A)$，其状态数为 $O(|A|)$，使得 $L(\Delta(A)) = \Delta(L(A))$。 8. 设 $\alpha : \Sigma' \to \Sigma$ 是切片投影，可以构造状态数为 $O(|\Sigma| \cdot |A|)$ 的自动机 $inv(A, \alpha)$，使得 $L(inv(A, \alpha)) = inv(L(A), \alpha)$。 下面用表格总结这些操作： | 操作 | 自动机构造 | 状态数 | 语言关系 | | ---- | ---- | ---- | ---- | | 并集 | $A \cup A'$ | $|A| + |A'|$ | $L(A \cup A') = L(A) \cup L(A')$ | | 交集 | $A \cap A'$ | $|A| \cdot |A'|$ | $L(A \cap A') = L(A) \cap L(A')$ | | 克林闭包 | $A^+$ | $|A|$ | $L(A^+) = L(A)^+$ | | 投影 | $\alpha(A)$ | $|A|$ | $L(\alpha(A)) = \alpha(L(A))$ | | 饱和操作 | $vsat(A)$ | $|\Sigma| \cdot |A|$ | $L(vsat(A)) = vsat(L(A))$ | | 张量积 | $A \otimes A'$ | $|A| \cdot |A'|$ | $L(A \otimes A') = L(A) \otimes L(A')$ | | $\Delta$ 操作 | $\Delta(A)$ | $O(|A|)$ | $L(\Delta(A)) = \Delta(L(A))$ | | 逆同态 | $inv(A, \alpha)$ | $O(|\Sigma| \cdot |A|)$ | $L(inv(A, \alpha)) = inv(L(A), \alpha)$ | #### 2. 下一步自动机 给定任意切片自动机 $A$ 和任意一组变换规则 $R$，可以在 $|A|$ 的线性时间内构造一个切片自动机 $N(A)$，它表示通过应用一层独立变换规则从 $LG(A)$ 中的图可以得到的所有图。即关系 $\stackrel{R,1}{\Rightarrow}$ 保持切片自动机的可识别性。 定理 6 表明：设 $A$ 是 $\Sigma(c, \Gamma_1, \Gamma_2)$ 上的切片自动机，$R$ 是一组 $(\Gamma_1, \Gamma_2)$ 标记的变换规则。可以在时间 $2^{O(c \cdot \|R\| \log \|R\|)} \cdot |A|$ 内构造 $\Sigma(c \cdot \|R\|, \Gamma_1, \Gamma_2)$ 上的切片自动机 $N(A)$，使得 $LG(N(A)) = \{H | \exists G \in LG(A), G