自旋链在量子通信中的应用与优化策略

### 自旋链在量子态传输与纠缠创建中的应用 在量子信息领域，自旋链作为数据总线、逻辑总线和纠缠器发挥着重要作用。本文将探讨自旋链在量子态传输中的性能、有限尺寸效应，以及通过创建纠缠实现量子态传输的替代方案，还会介绍一些实现近乎完美量子态传输的方案。 #### 自旋链量子态传输的有限尺寸效应 当允许 Bob 在长度为 \(T_{max} = 4000/J\) 的有限时间间隔内选择 \(t_0\) 时，对链长 \(N\) 从 2 到 80 的各种情况进行评估。由于公式 (1.9) 允许使用离散余弦变换的数值包，这种评估速度很快。选择有限的 \(T_{max}\) 在物理上是合理的，因为 Bob 不能无限期等待。在 \([0, T_{max}]\) 内，实现最优量子通信的时间 \(t^*\) 会随 \(N\) 变化。 该方案存在一些有趣的有限尺寸效应，这是由于链中各种单激发波包的相长干涉引起的。除了 \(N = 2\) 这种简单情况外，\(N = 4\) 能实现精确到小数点后三位的完美量子态传输（保真度 \(F = 1.000\)），\(N = 8\) 能实现近乎完美的传输（保真度 \(F = 0.994\)）。对于 \(N = 7, 10, 11, 13\) 和 14，保真度也超过 0.9。多年来，对于这些依赖于 \(N\) 的有限尺寸效应没有明确的解释，但显然这指向了数论与一维相长干涉之间的联系。最近的研究表明，对于上述简单协议，只要愿意等待足够长的时间让状态到达，对于长度为 \(p\)、\(2p\) 和 \(2^m\)（\(p\) 为素数）的链，几乎可以实现任意高的态传输保真度。这也意味着上述自旋链是一个自然的物理系统，其动力学可用于素数测试这一纯数论任务。 #### 纠缠创建作为替代方案 对于图 1.2 中的协议，当链长 \(N\) 超过 80 时，在合理时间间隔内实现的量子态传输保真度会降至 2/3 以下。因此，上述简单使用的自旋链虽然对少数自旋的链有用，但无法在较长距离上实现高保真度的态传输。不过，还有另一个有趣的替代方案，即通过自旋链在两个寄存器中的两个量子比特之间建立纠缠。 如果两个量子比特 \(A\) 和 \(B\) 能被制备成接近单重态 \(|\psi^-\rangle_{AB} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle_A|1\rangle_B - |1\rangle_A|0\rangle_B)\) 的状态，那么就可以通过量子隐形传态以非常高的保真度将任意量子态 \(|\psi_{in}\rangle\) 从一个寄存器传输到另一个寄存器。即使自旋链只能建立一个有噪声的纠缠态，如 \(\rho_{1N} = p|\psi^-\rangle\langle\psi^-|_{1N} + (1 - p)I_{1N}\)（其中 \(p\) 是概率，\(I_{1N}\) 是链两端量子比特 1 和 \(N\) 的单位（完全混合）态），也可以通过纠缠蒸馏过程实现高保真度的态传输。 使用自旋链建立纠缠态有两种不同的方法： 1. **量子态传输法**：首先将量子比特 1 的状态与量子比特 \(A\) 制备成纠缠态 \(|\psi^-\rangle_{A1}\)，然后通过自旋链将量子比特 1 的状态以一定保真度传输到量子比特 \(N\)，使得量子比特 \(A\) 和 \(N\) 的联合态演变为纠缠态 \(\rho_{AN}\)。通过在第二个寄存器中进行操作，将量子比特 \(N\) 的状态映射到量子比特 \(B\)，从而将 \(A\) 和 \(B\) 制备成纠缠态 \(\rho_{AB}\)。使用这种方法，通过一种称为并发度的纠缠度量，可得到量子比特 \(A\) 和 \(B\) 之间能产生的纠缠为 \(E_{AB}(t) = |f_N(t)|\)，并且可以证明 \(E_{AB}(t \approx N/J) \approx \frac{1}{N^{1/3}}\)。 2. **哈密顿量淬火法**：如果将一个 Ising 自旋链 \(H_{Ising} = J\sum_{j = 1}^{N - 1}\sigma_j^z\sigma_{j + 1}^z\)（\(J > 0\)）初始化为其 Neel 有序基态 \(|010101 \cdots 01\rangle\)，并突然将所有耦合全局淬火为 XY 哈密顿量 \(H_{XY} = J\sum_{j = 1}^{N - 1}(\sigma_j^x\sigma_{j + 1}^x + \sigma_j^y\sigma_{j + 1}^y)\)，那么在时间 \(\approx N/J\) 内，链两端之间可以产生大量的纠缠，且纠缠随 \(N^{-0.77}\) 衰减。 以下是一个简单的流程图，展示了使用自旋链建立纠缠态的两种方法： ```mermaid graph LR classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px A([开始]):::startend --> B(量子态传输法):::process A --> C(哈密顿量淬火法):::process B --> D(制备纠缠态 |ψ⁻⟩A1):::process D --> E(通过自旋链传输):::process E --> F(得到纠缠态 ρAN):::process F --> G(操作映射到 B):::process G --> H(得到纠缠态 ρAB):::process C --> I(初始化 Ising 自旋链):::process I --> J(全局淬火到 XY 哈密顿量):::process J --> K(产生纠缠):::process ``` #### 实现近乎完美量子态传输的方案 由于色散的存在，几乎均匀的通道的传输质量通常会随着通道长度的增加而下降。为了实现可扩展的量子态传输过程，使其质量尽可能少地依赖于通道的物理长度，有多种方案可供选择。 ##### 相互作用工程 一种实现完美量子态传输的方法是对自旋链的所有相互作用进行工程设计。例如，考虑一个 XY 链 \(H_{Engd}^{XY} = \sum_{j = 1}^{N - 1}J_{j,j + 1}(\sigma_j^x\sigma_{j + 1}^x + \sigma_j^y\sigma_{j + 1}^y)\)。如果链的耦合 \(J_{j,j + 1}\) 关于其中心对称（即 \(J_{1,2} = J_{N - 1,N}\)，\(J_{2,3} = J_{N - 2,N - 1}\) 等），则交替的本征态 \(|k_n\rangle\) 具有相反的宇称。通过特定的相互作用工程设计，可以使本征态的能量 \(E_n = \omega n\)（\(\omega\) 为常数），从而在最优时间 \(t^* = \pi/\omega\) 时，\(|f_N(t^*)| = \sum_n \alpha(k_n) = 1\)，使得保真度和纠缠都接近 1。这种方法的动力学如图 1.4 所示。 ##### 信息编码和/或量子控制 另一种使 \(f_N\) 接近 1 的方法是利用弹道态传输机制。可以将初始态 \(|1\rangle\) 编码为高斯波包态 \(\sum_j \exp\{-(j - j_0)^2/2\Delta^2\}\exp\{ik_{opt}j\}|j\rangle\)，其中波包中心 \(j_0\) 靠近发送者 Alice，波包宽度 \(\Delta\) 对应有限数量的位点 \(j\)。如果波包动量 \(k_{opt}\) 选择最优，则波包的二阶色散可以有效消除，从而实现近乎完美的态传输。此外，还可以采用双轨协议，将状态编码在两个不同自旋链 \(A\) 和 \(B\) 的第一个自旋上。 以下是实现近乎完美量子态传输方案的总结表格： |方案类型|具体方法|优点|缺点| | ---- | ---- | ---- | ---- | |相互作用工程|设计自旋链的相互作用，使本征态能量满足特定条件|可实现完美态传输|工程设计难度大| |信息编码和/或量子控制|编码初始态为波包态或采用双轨协议|可实现近乎完美态传输|编码过程复杂| |弱耦合到有隙系统|减弱通道与发送/接收量子比特的耦合|传输质量高|传输时间长| |绝热过程|采用绝热通道技术|实现高保真度态传输|操作复杂| ##### 弱耦合到有隙系统 这种方案基于大幅减弱通道与发送/接收量子比特之间的耦合。假设发送和接收量子比特与通道自旋的耦合为 \(\epsilon J\)，而通道内自旋之间的耦合为 \(J\)（通道可以是均匀自旋链或其他图）。当 \(\epsilon\) 足够小（\(\epsilon << 1\)）时，能确保通道只有一个模式与发送和接收自旋发生共振耦合。此时，整个通道可视为一个有效量子比特，其状态 \(|0\rangle\) 和 \(|1\rangle\) 分别对应模式未占据和占据。发送、通道和接收量子比特组成的三量子比特系统可简化为一个三自旋 XY 模型，在时间 \(O(1/\epsilon J)\) 内将状态从发送量子比特完美传输到接收量子比特。 该方案的典型动力学如图 1.5 所示，虽然传输时间很长，但具有以下优点： - 从接收自旋中提取状态的时间选择不那么精确时，状态不会有显著变化。 - 适用于各种初始状态的中间总线以及各种随机的相互作用自旋架构。 ##### 绝热过程 这种方法借鉴了原子物理学中的绝热通道技术，应用于自旋链场景。其思路是从自旋链的双重简并基态（由 \(|0\rangle_1|GS\rangle_{2,3,\cdots,N}\) 和 \(|1\rangle_1|GS\rangle_{2,3,\cdots,N}\) 组成）开始进行绝热过程。 具体操作步骤如下： 1. 首先，开启自旋 2 到 \(N\) 之间所有相邻自旋的相互作用（例如，大小为 \(\sim J\)），使 \(|GS\rangle_{2,3,\cdots,N}\) 成为这些自旋易于初始化的基态。此时，第一个自旋编码量子比特，且与其他部分无耦合。 2. 然后，以远低于系统中任何能隙 \(O(J)\) 的频率，逐渐开启自旋 1 和 2 之间的相互作用，同时关闭自旋 2 到 \(N\) 之间的部分相互作用。 3. 最后，通过绝热演化实现量子态的高保真度传输。 以下是实现近乎完美量子态传输各方案的操作步骤总结列表： 1. **相互作用工程**： - 设计自旋链耦合 \(J_{j,j + 1}\) 使其关于中心对称。 - 特定设计相互作用，使本征态能量 \(E_n = \omega n\)。 - 在最优时间 \(t^* = \pi/\omega\) 实现完美态传输。 2. **信息编码和/或量子控制**： - 编码初始态为高斯波包态或采用双轨协议。 - 选择最优波包动量 \(k_{opt}\) 消除二阶色散。 - 对于双轨协议，在接收端进行两量子比特门操作和测量。 3. **弱耦合到有隙系统**： - 减弱发送/接收量子比特与通道的耦合至 \(\epsilon J\)（\(\epsilon << 1\)）。 - 等待时间 \(O(1/\epsilon J)\) 完成状态传输。 4. **绝热过程**： - 开启自旋 2 到 \(N\) 相邻自旋相互作用，初始化基态。 - 缓慢开启自旋 1 和 2 相互作用，关闭部分自旋 2 到 \(N\) 相互作用。 - 通过绝热演化实现高保真度传输。 以下是一个流程图，展示了实现近乎完美量子态传输各方案的整体流程： ```mermaid graph LR classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px A([开始]):::startend --> B(相互作用工程):::process A --> C(信息编码和/或量子控制):::process A --> D(弱耦合到有隙系统):::process A --> E(绝热过程):::process B --> B1(设计对称耦合):::process B1 --> B2(特定设计能量):::process B2 --> B3(最优时间传输):::process C --> C1(编码初始态):::process C1 --> C2(选择最优动量):::process C2 --> C3(接收端操作):::process D --> D1(减弱耦合):::process D1 --> D2(等待传输):::process E --> E1(初始化基态):::process E1 --> E2(开启相互作用):::process E2 --> E3(绝热演化):::process ``` 综上所述，自旋链在量子态传输和纠缠创建方面具有多种应用方案。每种方案都有其独特的优缺点和适用场景。在实际应用中，需要根据具体需求和条件选择合适的方案，以实现高效、高保真度的量子态传输和纠缠创建。未来，随着技术的不断发展，这些方案有望在量子计算、量子通信等领域发挥更大的作用。