射频和B超图像上的二维解析信号

### 射频和B超图像上的二维解析信号 #### 1. 引言 解析信号（AS）能够从图像中提取局部的低级特征。它具有身份分离的基本特性，即将信号的定性和定量信息分别以局部相位和局部幅度的形式分离出来。这些量还满足不变性和等变性，使得与图像亮度或对比度变化无关的结构信息得以提取。这些特性使其在计算机视觉和医学成像领域有众多应用，如配准、检测、分割和立体视觉等。基于相位的处理对超声图像尤为重要，因为超声图像受亮度变化影响较大。 对于一维信号，局部相位可通过一维解析信号计算。而对于二维信号，有多种解析信号的扩展形式，其中单源信号是一种各向同性的扩展。它在描述信号的结构信息（相位和幅度）时增加了一个几何分量——局部方向，该方向表示二维图像中固有一维（i1D）结构的方向，但单源信号仅限于i1D信号子类。最近提出的二维解析信号则允许对固有二维（i2D）信号进行分析，它将二维信号分析嵌入到三维投影空间，并引入了一个新的几何量——顶角。二维解析信号在估计i1D信号的局部特征时也更准确。 本文将展示计算二维解析信号在射频（RF）和B超图像上的优势。我们不再对每条扫描线单独进行RF信号解调，而是使用一阶和二阶二维希尔伯特滤波器在二维环境中进行解调，这有助于改善包络检测。由于B超图像的后续处理步骤都基于包络，二维包络检测的改进会提升B超图像的质量。此外，二维包络检测结果具有更好的统计特性，我们通过对中神分布进行拟合优度测试来证明这一点，这对分类和分割有重要意义。最后，我们还将展示二维解析信号在估计B超图像局部特征方面的优势，所有实验均在临床超声图像上进行。 #### 2. 二维解析信号 分析信号相位有多种概念，如傅里叶相位、瞬时相位和局部相位等，我们主要关注后两者。对于一维信号$g \in L^2(R)$，瞬时相位定义为解析信号的辐角$arg(g + i \cdot H\{g\})$，其中$H$是希尔伯特变换。由于实际信号是不同频率信号的叠加，直接应用希尔伯特变换可能无法准确提取局部特征，需要使用带通滤波器将信号分解到多个频段。 对于二维信号$f \in L^2(R^2)$，固有维度表示描述局部结构的自由度数量。固有零维（i0D）信号是常量信号，i1D信号是线和边缘，i2D是二维中的其他模式。单源信号仅限于i1D信号，它通过二维希尔伯特变换（也称为里斯变换）计算。在频域中，一阶二维希尔伯特变换通过以下公式获得： $H_1^x(u) = i \cdot \frac{x}{||u||}$ $H_1^y(u) = i \cdot \frac{y}{||u||}$ 其中$u = (x, y) \in C \setminus \{(0, 0)\}$，$i = \sqrt{-1}$。计算二维解析信号时会使用高阶希尔伯特变换，二阶希尔伯特变换的傅里叶乘数为： $H_2^{xx}(u) = -\frac{x \cdot x}{||u||^2}$ $H_2^{xy}(u) = -\frac{x \cdot y}{||u||^2}$ $H_2^{yy}(u) = -\frac{y \cdot y}{||u||^2}$ 同样$u = (x, y) \in C \setminus \{(0, 0)\}$。与其他文献不同，我们在频域中给出希尔伯特变换的公式，这更便于滤波操作。 ##### 2.1 结构和几何特征 二维解析信号的扩展是通过嵌入三维投影空间实现的，这使得能够区分几何特征（局部方向、局部顶角）和结构特征（局部相位、局部幅度）。滤波后的信号$F_p$、一阶希尔伯特变换后的信号$F_x$、$F_y$以及二阶希尔伯特变换后的信号$F_{xx}$、$F_{xy}$、$F_{yy}$通过带通滤波器$B$和逐点乘法$\odot$在频域中计算： $\begin{bmatrix} F_p \\ F_x \\ F_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B \odot F \\ H_1^x \odot B \odot F \\ H_1^y \odot B \odot F \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} F_{xx} \\ F_{xy} \\ F_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} H_2^{xx} \odot B \odot F \\ H_2^{xy} \odot B \odot F \\ H_2^{yy} \odot B \odot F \end{bmatrix}$ 为了在投影空间中解释二阶希尔伯特变换后的信号，使用了黑塞矩阵和向量值表示之间的同构关系，得到： $f_s = \frac{1}{2}[f_{xx} + f_{yy}]$ $f_+ = f_{xy}$ $f_{+-} = \frac{1}{2}[f_{xx} - f_{yy}]$ 局部特征的计算如下： - 顶角$\alpha$：$\alpha = \arccos \frac{\sqrt{f_+^2 + f_{+-}^2}}{||f_x||}$ - 均匀信号分量$f_h$：$f_h = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}$ - 局部方向$\theta$：$\theta = \frac{1}{2} \arctan \frac{f_+}{f_{+-}}$ - 局部相位$\varphi$：$\varphi = \arctan2(\sqrt{[f_h