频谱间隙与Cheeger方法

### 频谱间隙与Cheeger方法 #### 1. 背景与初步概念 在研究中，我们会遇到构造的特征函数并非基态的情况。对于标准拉普拉斯算子，基态是一个非零常数函数，但构造的函数在连接顶点处为零，并且该构造函数与常数函数正交。 当考虑长度为 $\ell$ 的区间，端点分别满足狄利克雷和诺伊曼条件时，$\lambda_1 = (\frac{\pi}{2\ell})^2$。而且，特定等式成立的条件是图为长度为 $L$ 的狄利克雷 - 诺伊曼线段。 #### 2. Cheeger方法概述 J. Cheeger提出了一种估计黎曼流形上拉普拉斯算子频谱间隙的有效方法，该方法已成为微分几何中的标准工具，下面我们将其思想应用于量子图。 Cheeger方法的基本思想是，第一个非平凡特征函数 $\psi_2$ 应同时取正值和负值，因为它与 $\psi_1 \equiv 1$ 正交，即 $\psi_2$ 至少有两个节点域。虽然我们对这些节点域了解不多，但可以在不知道其位置和大小的情况下进行估计。节点域之间的边界 $S$ 可将流形 $M$ 分割为两个或多个带边界的子流形 $M_1$ 和 $M_2$，即 $M = M_1 \cup M_2$。 我们引入Cheeger商： $h_S = \frac{L(S)}{\min \{A(M_1), A(M_2)\}}$ 其中 $L(S)$ 是切割 $S$ 的长度，$A(M_j)$ 是子流形 $M_j$ 的面积。对于 $n$ 维流形 $M$，这里的 $L(S)$ 是 $n - 1$ 维面积。由于我们不知道哪个特定的切割 $S$ 对应于特征函数 $\psi_2$，可以通过使商最小化的切割来获得估计，对应的下确界称为Cheeger常数： $h(M) := \inf_S \frac{L(S)}{\min \{A(M_1), A(M_2)\}}$ 使用Cheeger常数，可以证明关于第一个非平凡拉普拉斯特征值 $\lambda_2(M)$ 的以下下界估计： $\frac{1}{4}(h(M))^2 \leq \lambda_2(M)$ #### 3. 量子图的Cheeger方法应用 ##### 3.1 下界估计 我们考虑标准拉普拉斯算子，设 $\Gamma$ 为度量图，用一组点 $P$ 将 $\Gamma$ 分割为两个子图 $M_1$ 和 $M_2$，定义度量图 $\Gamma$ 的Cheeger常数为： $h(\Gamma) = \inf_P \frac{|P|}{\min \{L(M_1), L(M_2)\}}$ 其中 $|P|$ 表示分割点的数量，下确界是对 $\Gamma$ 的所有可能切割取的。 设 $\lambda_2$ 是 $\Gamma$ 上标准拉普拉斯算子的频谱间隙，对应的特征函数记为 $\psi$。不妨设 $\Gamma^+$ 的体积最小，若不是则将特征函数乘以 $-1$。$\psi$ 在 $\Gamma^+$ 上的限制是 $\Gamma^+$ 上拉普拉斯算子的基态特征函数，除分割点 $P$ 处为狄利克雷条件外，其余顶点为标准顶点条件。 通过一系列推导（利用柯西 - 施瓦茨不等式等），我们得到： $\lambda_2(L^{st}(\Gamma)) = \frac{\int_{\Gamma^+} -\psi''(x)\psi(x)dx}{\int_{\Gamma^+} \psi^2(x)dx} = \frac{\int_{\Gamma^+} (\psi'(x))^2dx}{\int_{\Gamma^+} \psi^2(x)dx} \geq \frac{1}{4}(\frac{\int_{\Gamma^+} |\frac{d}{dx}(\psi^2(x))|dx}{\int_{\Gamma^+} \psi^2(x)dx})^2$ 引入记号： $V(y) = measure(\{x \in \Gamma^+ : \psi^2(x) \geq y\})$ $N(y) = |(\psi^2)^{-1}(y) \cap \Gamma^+|$ 有 $\frac{N(y)}{V(y)} \geq h(\Gamma)$，且 $V(y) = L(\Gamma^+) - \int_0^y N(t)dt$，$\frac{dV(y)}{dy} = -N(y)$。 进一步推导可得： $\int_{\Gamma^+} |\frac{d}{dx}\psi^2(x)|dx \geq h \int_{\Gamma^+} \psi^2(x)dx$ 最终得到标准拉普拉斯算子在度量图上的下界估计定理： 定理12.5：设 $\Gamma$ 为有限紧致连通度量图，$h$ 为对应的Cheeger常数，则标准拉普拉斯算子的频谱间隙有下界估计： $\lambda_2(L^{st}(\Gamma)) \geq \frac{1}{4}h^2$ 可以证明该不等式实际上是严格的，等式成立的条件是证明中的所有不等式都变为等式，特别是当 $\psi'$ 与 $\psi$ 成比例时，但此时 $\psi$ 为指数函数，不能是特征函数方程的实值解。 ##### 3.2 上界估计 对于度量图 $\Gamma$，删除一些边 $S = \cup_{j = 1}^s E_{n_j}$，若得到的图 $\Gamma \setminus S$ 不连通，则称 $S$ 为 $\Gamma$ 的边切割。 我们定义以下Cheeger型商： $\min_{\substack{\Gamma_1, \Gamma_2 : \Gamma_1 \cup \Gamma_2 = \Gamma \setminus S; \\ \Gamma_1 \cap \Gamma_2 = \varnothing}} \frac{L(\Gamma) \