机器学习中的回归、分类与曲线拟合

### 机器学习中的回归、分类与曲线拟合 在机器学习领域，回归和分类是两个重要的任务类型，它们有着不同的特点和应用场景。同时，曲线拟合也是数据处理和模型构建中的关键环节。下面将详细介绍这些内容。 #### 1. 回归与分类任务 ##### 1.1 回归任务 当机器学习技术用于执行回归任务时，它会构建模型函数 \(f\)，将输入向量 \(x\) 映射到输出向量 \(y\)，即 \(y = f (x)\)。这里的输出向量 \(y\) 由连续的分量组成，每个分量都有特定的科学含义。 ##### 1.2 分类任务 分类任务与回归任务有所不同。机器学习方法经过训练，将输入向量 \(x\) 分配到特定的类别 \(i\)。为了实现这一目标，需要对输出 \(y\) 进行适当的编码。通常，输出向量 \(y\) 的分量数量设置为所需类别的数量，每个分量 \(y_k\) 编码一个类别。例如，对于 3 个类别，编码后的输出向量如下： - 类别 1: \(y = \begin{pmatrix} 1.0 \\ 0.0 \\ 0.0 \end{pmatrix}\) - 类别 2: \(y = \begin{pmatrix} 0.0 \\ 1.0 \\ 0.0 \end{pmatrix}\) - 类别 3: \(y = \begin{pmatrix} 0.0 \\ 0.0 \\ 1.0 \end{pmatrix}\) 采用这种编码方式后，就可以使用这些输出向量执行回归任务，相应的数据集被称为分类数据集。为了将输入向量 \(x\) 分配到特定类别，需要确定输出向量 \(y\) 的最大分量，该最大分量所在的位置对应的类别即为输入向量 \(x\) 所属的类别。例如，若训练好的机器学习方法为输入向量 \(x\) 计算出输出向量 \(y = \begin{pmatrix} 0.2 \\ 0.5 \\ 0.3 \end{pmatrix}\)，则该输入向量被分配到类别 2，因为分量 2（值为 0.5）是输出向量 \(y\) 的最大分量。需要注意的是，对于正确的分类，机器学习方法不需要高精度地映射到每个类别的期望输出向量 \(y\)，只要类别检测分量是最大分量即可。因此，一般来说，分类任务对机器学习方法的要求比回归任务稍低。如果回归任务失败，至少可以尝试将数据分类到不同的感兴趣区域。 以下是一个分类数据集的示例： ```mathematica input1={Subscript[in, 11],Subscript[in, 12],Subscript[in, 13]}; output1={0.0,1.0}; ioPair1={input1,output1}; input2={Subscript[in, 21],Subscript[in, 22],Subscript[in, 23]}; output2={0.0,1.0}; ioPair2={input2,output2}; input3={Subscript[in, 31],Subscript[in, 32],Subscript[in, 33]}; output3={0.0,1.0}; ioPair3={input3,output3}; input4={Subscript[in, 41],Subscript[in, 42],Subscript[in, 43]}; output4={1.0,0.0}; ioPair4={input4,output4}; classificationDataSet={ioPair1,ioPair2,ioPair3,ioPair4}; MatrixForm[classificationDataSet] ``` 这个数据集可以根据类成员资格进行升序排序： ```mathematica sortResult=CIP‘DataTransformation‘SortClassificationDataSet[ classificationDataSet]; sortedClassificationDataSet=sortResult[[1]]; MatrixForm[sortedClassificationDataSet] ``` 排序结果会给出输入与类别的关系信息： ```mathematica classIndexMinMaxList=sortResult[[2]] ``` 例如，`classIndexMinMaxList` 可能为 `{{1,1},{2,4}}`，这表示有两个类别，类别 1 包含一个输入（索引为 1），类别 2 包含三个输入（索引为 2、3 和 4）。 分类任务通常与模式识别相关，输入向量 \(x\) 编码一个模式（如 MRI 创建的数字图像），该模式被映射到具有特定含义的特定类别（如肿瘤组织），从而实现模式识别。机器学习方法在原则上具有很强的模式识别能力。 #### 2. CIP 计算的结构 计算智能包（CIP）的计算结构基本统一。通过 `Get` 方法（使用 CIP 的 `ExperimentalData` 和 `CalculatedData` 包）检索或模拟数据，然后将这些数据提交给 `Fit` 方法（如 CIP 的 `CurveFit`、`Cluster`、`MLR`、`SVM` 或 `Perceptron` 包）。`Fit` 方法的结果是一个全面的信息数据结构（如 `curveFitInfo`、`clusterInfo`、`mlrInfo`、`svmInfo` 或 `perceptronInfo`），可以将其传递给 `Show` 方法进行评估（如检查拟合优度），或传递给 `Calculate` 方法进行与模型相关的计算。这种直观的 `Get - Fit - Show - Calculate` 方案易于记忆，贯穿于整个数据分析过程。 CIP 方法使用了许多默认设置，这些设置对于算法的运行是必要的，但重要的细节可以通过选项进行更改。由于默认设置并非普遍适用，在某些情况下可能合适，而在其他情况下可能导致失败，因此在数据分析应用中，根据具体情况调整这些设置至关重要。需要注意的是，CIP 是开源的，用户可以查看实现方法的每个细节，甚至进行更改或改进。 以下是 CIP 计算结构的流程图： ```mermaid graph LR A[Get 方法] --> B[检索或模拟数据] B --> C[Fit 方法] C --> D[生成信息数据结构] D --> E[Show 方法] D --> F[Calculate 方法] E --> G[评估拟合优度] F --> H[模型相关计算] ``` #### 3. 曲线拟合 ##### 3.1 二维曲线拟合的开始 二维曲线拟合从实验的 \(xy\) 误差数据开始，这些数据由三元组 \((x_i,y_i,\sigma_i)\) 组成，其中 \(x_i\) 是自变量值，\(y_i\) 是相应的因变量值，\(\sigma_i\) 是 \(y_i\) 值的统计误差（通常假设所有 \(x_i\) 值是无误差的，因为它们的误差会传播到因变量 \(y_i\) 的更大误差 \(\sigma_i\) 中）。 以下是生成 \(xy\) 误差数据的示例代码： ```mathematica Clear["Global‘*"]; <<CIP‘CalculatedData‘ <<CIP‘Graphics‘ <<CIP‘CurveFit‘ pureModelFunction=Function[x,1.0+1.0*x+0.4*x^2-0.1*x^3]; argumentRange={-2.0,5.0}; numberOfData=100; standardDeviationRange={0.5,0.5}; xyErrorData=CIP‘CalculatedData‘GetXyErrorData[pureModelFunction, argumentRange,numberOfData,standardDeviationRange]; labels={"x","y","Data"}; CIP‘Graphics‘PlotXyErrorData[xyErrorData,labels] ``` ##### 3.2 曲线拟合的目标 曲线拟合的目标是调整一个平滑且平衡的模型函数 \(f(x)\)，使其能够充分描述数据。在数学上，曲线拟合是一种数据分析过程，试图从实验的 \(xy\) 误差数据中构建线性或非线性模型函数 \(y = f(x)\)。 除了模型函数 \(f(x)\) 完全已知的罕见情况外，可以区分三种不同的场景： - **场景 1**：模型函数 \(f(x)\) 的结构形式在理论或经验上已知，但参数值未知。例如，已知结构形式是一条直线，但斜率和截距的值未知。 - **场景 2**：模型函数 \(f(x)\