高级排序与二叉树数据结构解析

# 高级排序与二叉树数据结构解析 ## 一、高级排序算法 ### 1.1 快速排序性能分析 快速排序是一种常用的排序算法，但不同版本的性能有所差异。简单版本的快速排序在处理已排序（或逆序排序）的数据时，性能仅为 $O(N^2)$。而更高级的版本采用三数取中法来选择基准元素，即取子数组的第一个、最后一个和中间元素的中位数作为基准。这种方法有效地解决了已排序数据下 $O(N^2)$ 性能的问题。 ### 1.2 三数取中分区法 三数取中分区法在确定中位数的同时，会对左、中、右元素进行排序。这种排序方式消除了分区算法内部 while 循环中对数组末尾的检查需求。快速排序通常以 $O(N * log_2N)$ 的时间复杂度运行（除了简单版本应用于已排序数据的情况）。 ### 1.3 子数组排序优化 对于小于某个特定大小（截止值）的子数组，可以采用除快速排序之外的方法进行排序。插入排序通常用于对小于截止值的子数组进行排序，也可以在快速排序将整个数组排序到截止点后，对整个数组应用插入排序。 ### 1.4 基数排序 基数排序的速度与快速排序相近，但需要两倍的内存。 ### 1.5 相关问题测试 以下是一些关于排序算法的问题测试： |问题|选项| |----|----| |希尔排序的工作方式是？|a. 对数组进行分区<br>b. 交换相邻元素<br>c. 处理相隔较远的元素<br>d. 从普通插入排序开始| |如果数组有 100 个元素，Knuth 算法将从间隔为_____开始？|待填空| |要将插入排序转换为希尔排序，不需要做以下哪项？|a. 用 h 代替 1<br>b. 插入一个创建宽度递减间隙的算法<br>c. 将普通插入排序封装在一个循环中<br>d. 改变内循环中索引的方向| |判断对错：通过反复将数组大小除以 2 可以为希尔排序创建一个好的间隔序列。|待判断| |填空：希尔排序的速度大于______但小于______。|待填空| |分区是指？|a. 将所有大于某个特定值的元素放在数组的一端<br>b. 将数组分成两半<br>c. 对数组的部分进行部分排序<br>d. 分别对数组的每一半进行排序| |分区时，每个数组元素与______进行比较。|待填空| |在分区中，如果数组元素等于上一题的答案，会怎样？|a. 跳过它<br>b. 根据其他数组元素决定是否跳过它<br>c. 将其放置在基准位置<br>d. 进行交换| |判断对错：在快速排序中，基准可以是数组中的任意元素。|待判断| |假设较大的键在右侧，分区是？|a. 左右子数组之间的元素<br>b. 左右子数组之间元素的键值<br>c. 右子数组中的左元素<br>d. 右子数组中左元素的键值| |快速排序包括对原始数组进行分区，然后______。|待填空| |简单版本的快速排序分区后，基准可能是？|a. 用于查找数组的中位数<br>b. 与右子数组的一个元素交换<br>c. 用作下一次分区的起点<br>d. 被丢弃| |三数取中分区法是一种选择______的方法。|待填空| |在快速排序中，对于一个有 N 个元素的数组，partitionIt() 方法大约会检查每个元素______次。|待填空| |判断对错：如果在分区大小为 5 时停止分区，然后使用不同的排序方法完成排序，可以加快快速排序的速度。|待判断| ### 1.6 实验与编程项目 #### 1.6.1 实验 - 使用 Partition Workshop 小程序对 100 个逆序排序的条进行操作，观察结果是否接近排序。 - 修改 shellSort.java 程序，使其在完成每个 n - 排序后打印数组的全部内容。数组应足够小，以便其内容能显示在一行上。分析这些中间步骤，查看算法是否按预期运行。 - 修改 shellSort.java 和 quickSort3.java 程序，对适当大小的数组进行排序，并比较它们的速度。同时，将这些速度与第 3 章中的排序算法进行比较。 #### 1.6.2 编程项目 - 修改 partition.java 程序，使 partitionIt() 方法始终使用最高索引（右侧）元素作为基准，而不是任意数字。确保该例程适用于三个或更少元素的数组。 - 修改 quickSort2.java 程序，统计排序过程中进行的复制和比较次数，然后显示总数。该程序应复制 QuickSort2 Workshop 小程序的性能，因此逆序排序数据的复制和比较次数应一致。 - 扩展编程项目 7.1，使用分区算法在不完全排序数据的情况下找到数组的中位数。 - 修改编程项目 7.2 的程序，允许选择任意元素。确定程序能够处理的最小数组大小。 - 实现基数排序，使其能够处理不同数量的数据和键中不同位数的情况。 ## 二、二叉树数据结构 ### 2.1 为什么使用二叉树 二叉树结合了有序数组和链表的优点。有序数组可以快速搜索特定值，但插入和删除操作较慢，平均需要移动约 N/2 个元素。链表的插入和删除操作快速，时间复杂度为 $O(1)$，但查找指定元素较慢，平均需要访问 N/2 个对象，时间复杂度为 $O(N)$。二叉树则提供了快速的插入、删除和搜索功能。 ### 2.2 树的基本概念 树由通过边连接的节点组成。在计算机程序中，节点通常代表诸如人、汽车零件、机票预订等实体，边表示节点之间的关系。在 Java 程序中，边可能由引用表示。树通常顶部小底部大，程序操作通常从树的小端开始。 ### 2.3 二叉树 我们主要关注一种特殊类型的树——二叉树，每个节点最多有两个子节点。节点子节点数超过两个的更通用的树称为多路树。 ### 2.4 树的术语 - **路径**：沿着连接节点的边从一个节点走到另一个节点所形成的节点序列。 - **根**：树顶部的节点，一棵树中只有一个根。从根到任何其他节点必须有且只有一条路径。 - **父节点**：除根节点外的任何节点都有一条向上的边连接到另一个节点，该节点称为其父节点。 - **子节点**：一个节点下方的节点称为其子节点。 - **叶节点**：没有子节点的节点称为叶节点。 - **子树**：任何节点都可以被视为子树的根，子树由其所有后代节点组成。 - **访问**：程序控制到达节点并通常对节点执行某些操作（如检查数据字段的值或显示它）时，称该节点被访问。 - **遍历**：按照指定顺序访问树中的所有节点。 - **层级**：特定节点距离根节点的代数。假设根节点为第 0 层，则其子节点为第 1 层，孙节点为第 2 层，依此类推。 - **键**：对象中的一个数据字段通常被指定为键值，用于搜索项目或执行其他操作。在树图中，当圆圈表示持有数据项的节点时，通常在圆圈中显示该项的键值。 以下是树术语的关系图： ```mermaid graph TD; A[根] --> B; A --> C; B --> D; B --> E; C --> F; D --> H; ```