量子计算中的矩阵表示、布洛赫球与泡利矩阵

### 量子计算中的矩阵表示、布洛赫球与泡利矩阵 #### 1. 矩阵表示 在量子计算中，列矩阵和行矩阵各自构成不同的向量空间。不过，我们可以为每个列矩阵关联一个对应的行矩阵，行矩阵构成对偶空间。 给定列矩阵： \[ \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \] 我们定义其对偶行矩阵为： \[ \begin{pmatrix} c_1^* & c_2^* \end{pmatrix} = c_1^* \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} + c_2^* \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \] 显然，行矩阵 \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\) 和 \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\) 是所有二维行矩阵向量空间的基向量，因此有如下对应关系： \[ \langle 0| \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \langle 1| \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \] ##### 1.1 矩阵运算 量子比特的态矢（ket）的矩阵表示是二维列矩阵，而其对偶的左矢（bra）是通过上述规则得到的对应行矩阵。列矩阵和行矩阵有两种不同的乘法方式： - **标量积**：若一个 \(n\) 维行矩阵 \(\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{pmatrix}\) 位于一个 \(n\) 维列矩阵 \(\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}\) 的左边，它们的乘积为 \(\sum_{i = 1}^{n} a_i b_i\)。对于 \(n = 2\) 的情况： \[ \begin{pmatrix} a_1 & a_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = a_1 b_1 + a_2 b_2 \] 设 \(|\Psi\rangle = c_1|0\rangle + c_2|1\rangle\) 和 \(|\Phi\rangle = d_1|0\rangle + d_2|1\rangle\)，它们的内积 \(\langle\Phi|\Psi\rangle = d_1^* c_1 + d_2^* c_2\)。若有对应关系 \(|\Psi\rangle \Rightarrow \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix}\)，\(|\Phi\rangle \Rightarrow \begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \end{pmatrix}\)，则 \(\langle\Phi|\Psi\rangle \to \begin{pmatrix} d_1^* & d_2^* \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} = d_1^* c_1 + d_2^* c_2\)。 - **外积**：定义 \(X \equiv |\Psi\rangle\langle\Phi|\)，其矩阵表示为： \[ X \Rightarrow \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d_1^* & d_2^* \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 d_1^* & c_1 d_2^* \\ c_2 d_1^* & c_2 d_2^* \end{pmatrix} \] 外积 \(X\) 与一个 \(n\) 维列矩阵相乘会得到一个 \(n\times n\) 的方阵，其第 \(i\) 行第 \(j\) 列的元素为 \(a_i b_j\)。例如 \(X|0\rangle\) 的计算如下： \[ X|0\rangle \Rightarrow \begin{pmatrix} c_1 d_1^* & c_1 d_2^* \\ c_2 d_1^* & c_2 d_2^* \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 d_1^* \\ c_2 d_1^* \end{pmatrix} \] 因为 \(X|0\rangle = |\Psi\rangle\langle\Phi|0\rangle\) 且 \(\langle\Phi|0\rangle = d_1^*\)，所以 \(X|0\rangle = d_1^*|\Psi\rangle\)。 #### 2. 布洛赫球 量子比特 \(|\Psi\rangle\) 的矩阵表示为： \[ |\Psi\rangle = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix} \quad |c_1|^2 + |c_2|^2 = 1 \] 其中 \(c_1, c_2\) 是复数，可表示为 \(c_1 = x_0 + i x_1\)，\(c_2 = x_2 + i x_3\)，\(x_0, x_1, x_2, x_3\) 是四个独立的实参数。由于 \(|\Psi\rangle\) 是归一化的物理态，所以有 \(x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1\)，这描述了一个位于四维空间中以原点为中心的三维球面。 我们定义一个霍普夫映射，将四维空间中的点 \((x_0, x_1, x_2, x_3)\) 映射到三维空间中的点 \((x, y, z)\)： \[ x = 2(x_0 x_2 + x_1 x_3) \quad y = 2(x_3 x_0 - x_1 x_2) \quad z = x_0^2 + x_1^2 - x_2^2 - x_3^2 \] 由于 \((x_0, x_1, x_2, x_3)\) 位于单位三维球面上，所以 \(x^2 + y^2 + z^2 = x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1\)，这意味着点 \((x, y, z)\) 位于单位长度的三维球面（布洛赫球）的表面。 若对坐标进行参数化： \[ x_0 = \cos(\theta/2) \cos(\beta) \quad x_1 = \cos(\theta/2) \sin(\beta) \quad x_2 = \sin(\theta/2) \cos(\beta + \varphi) \quad x_3 = \sin(\theta/2) \sin(\beta + \varphi) \] 其中 \(0 \leq \theta \leq \pi\)，\(0 \leq \varphi \leq 2\pi\)，\(0 \leq \beta \leq 2\pi\)，则有 \((x, y, z) = (\sin\theta \cos\varphi, \sin\theta \sin\varphi, \cos\theta)\)，这是单位二维球面在球坐标系中的标准参数化。此时量子比特的态可表示为： \[ |\Psi\rangle = \exp(i\beta) \begin{pmatrix} \cos(\theta/2) \\ \exp(i\varphi) \sin(\theta/2) \end{pmatrix} \] 因此，忽略整体相位因子 \(\exp(i\beta)\) 后，量子比特的状态可以用布洛赫球