量子信息理论基础解析

### 量子信息理论基础解析 #### 1. 量子不可克隆定理 通过对两个方程取内积，我们得到 $\langle\psi|\varphi\rangle = (\langle\psi|\varphi\rangle)^2$。然而，这个等式仅在 $|\psi\rangle = |\varphi\rangle$ 或者两个态正交时成立。由此可知，通用的量子复制机是不可能存在的。 量子不可克隆与量子力学的两个定义特征存在紧密联系： - **与量子测量的联系**：不可克隆在逻辑上等同于无法通过对单个量子系统的某个态进行测量来确定该（未知）态。因为如果能确定未知态，就可以制备任意数量的该（已知）态的副本；反之，如果可以克隆，就可以制备大量未知态的副本，然后通过各种测量来高精度地确定该态。 - **与 EPR 思想实验和超光速信号的联系**：假设相距很远的 Alice 和 Bob 共享形式为 $\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)$ 的 EPR 对。Alice 在每一对上要么在计算基 $\{|0\rangle, |1\rangle\}$ 下测量，要么在 $+/-$ 基 $\{|+\rangle, |-\rangle\}$ 下测量。若克隆可行，Bob 可以在 Alice 测量后对自己的态进行克隆，然后一半在计算基下测量，一半在 $+/-$ 基下测量，这样就能明确知道 Alice 的测量基，从而实现超光速通信。但不可克隆定理确保了非相对论量子力学与相对论的一致性。 #### 2. 熵与信息 经典信息中，香农熵用于衡量信息。若 $X = \{x_1, x_2, \ldots; p_1, p_2, \ldots\}$ 表示一个随机变量（如信息源以一定概率生成的字母），香农熵 $H(X)$ 量化了得知 $X$ 的值时平均获得的信息量，对应在得知其值之前对 $X$ 的不确定程度。其他经典信息度量，如互信息，用于量化随机变量之间的相关性。 在量子系统中，有几个信息度量用于量化与量子系统相关的信息量和相关性。虽然大部分定义与经典对应物相似，但这些度量的性质可能与经典行为有显著差异，例如某些量子态的条件量子熵为负，纠缠量子比特的互信息超过经典极限。 ##### 2.1 冯·诺依曼熵 假设源（Alice）从集合 $x \in \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$ 中选择量子态 $|x\rangle$ 进行制备，每个态出现的先验概率为 $p_x$。对于不知道制备了哪个态的观察者（Bob），源完全由密度算符 $\rho = \sum_x p_x|x\rangle\langle x|$ 表征。冯·诺依曼（或量子）熵定义为： \[S(\rho) = - \text{Tr}(\rho \log \rho)\] 其中 $\text{Tr}$ 表示迹，对数的底数为 2。若 $\{|\alpha\rangle\}$ 是 $\rho$ 的（归一化）本征态，$\lambda_{\alpha} = \sum_x p_x|\langle x|\alpha\rangle|^2$ 是相应的本征值，即 $\rho = \sum_{\alpha} \lambda_{\alpha}|\alpha\rangle\langle\alpha|$，则熵可写为： \[S(\rho) = - \sum_{\alpha} \lambda_{\alpha} \log \lambda_{\alpha} \equiv H(A)\] 其中 $H(A)$ 是集合 $A = \{\alpha; \lambda_{\alpha}\}$ 的香农熵。因此，如果源生成相互正交的纯态，有 $X \equiv \{x; p_x\} = A$ 且 $S(\rho) = H(X)$，即量子源退化为经典源。 冯·诺依曼熵的几个常用基本性质如下： |性质|描述| | ---- | ---- | |正性|对于任何 $\rho$，熵非负，即 $S(\rho) \geq 0$| |最小值|纯态 $\rho_{\psi} = |\psi\rangle\langle\psi|$ 的熵为零，即 $S(\rho_{\psi}) = 0$| |最大值|对于随机选择的量子态，即 $\rho = \frac{1}{d}I$（$I$ 是 $d$ 维希尔伯特空间上的单位算符），熵达到最大值 $S(\rho) = \log d$| |凹性|混合态会增加对制备的不确定性，即增加冯·诺依曼熵，$S(\rho) \geq \sum_k p_k S(\rho_k)$，其中 $\rho = \sum_k p_k \rho_k$| |制备熵|如果从集合 $\{|x\rangle; p_x\}$ 中随机抽取纯态，使得 $\rho = \sum_x p_x|x\rangle\langle x|$，则 $S(\rho) \leq H(X)$，当态 $|x\rangle$ 相互正交时取等号| |测量熵|考虑在态 $\rho$ 中测量可观测量 $A = \sum_y \alpha_y|\alpha_y\rangle\langle\alpha_y|$，结果 $\alpha_y$ 出现的概率为 $p_y = \langle\alpha_y|\rho|\alpha_y\rangle$，则 $S(\rho) \leq H(Y)$，其中 $Y = \{\alpha_y; p_y\}$ 是测量结果的集合；当 $A$ 和 $\rho$ 对易时取等号| |次可加性|对于处于态 $\rho_{AB}$ 的 bipartite 系统 $AB$，有 $S(\rho_{AB}) \leq S(\rho_A) + S(\rho_B)$，其中 $\rho_A = \text{Tr}_B[\rho_{AB}]$ 和 $\rho_B = \text{Tr}_A[\rho_{AB}]$，对于无关联系统 $\rho_{AB} = \rho_A \otimes \rho_B$ 取等号| |三角不等式|对于 bipartite 系统，有 $S(\rho_{AB}) \geq |S(\rho_A) - S(\rho_B)|$。若 $\rho_{AB}$ 是纯态，$S(\rho_{AB}) = 0$ 且 $S(\rho_A) = S(\rho_B)$| 这些性质中部分与经典情况有相似的对应物，但量子和经典信息的区别也很明显，例如三角不等式与其经典对应物 $H(X, Y) \geq H(X), H(Y)$ 的对比。经典情况下，整个系统的信息量比其任何部分都多；而在量子力学中，整个系统可能完全已知，但纠缠子系统的测量结果仍不可预测。 ##### 2.2 条件量子熵 对于 bipartite 量子系统 $AB$，条件量子熵 $S(A|B)$ 定义为联合量子熵 $S(A, B) \equiv S(\rho_{AB})$ 与边缘熵 $S(B) \equiv S(\rho_B)$ 的差： \[S(A|B) = S(A, B) - S(B)\] 这是经典条件熵 $H(X|Y) = H(X, Y) - H(Y)$ 的量子类比，经典条件熵衡量在已知 $Y$ 的值时对 $X$ 值的平均不确定程度，且 $H(X|Y) \geq 0$。但在量子系统中，有时对量子系统的联合态的确定性可能高于对其任何一部分的确定性。例如，对于处于纠缠态 $\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)$ 的两