优化分解机：RankingFM与LambdaFM的高效推荐算法解析

### 优化分解机：RankingFM与LambdaFM的高效推荐算法解析 在当今的信息时代，推荐系统在各个领域都发挥着至关重要的作用，从电商平台的商品推荐到音乐、电影等娱乐内容的个性化推送。为了提高推荐系统的准确性和效率，研究人员不断探索新的算法和技术。本文将深入介绍RankingFM和LambdaFM这两种优化的分解机算法，它们在处理推荐任务时展现出了卓越的性能。 #### 1. RankingFM框架 FM（Factorization Machines）在各种预测问题中表现出色，它能够处理变量之间的相互作用。然而，传统的FM在处理项目推荐任务时，采用的逐点误差损失函数会导致次优解，因为推荐任务本质上是一个排序任务。为了解决这个问题，研究人员提出了RankingFM方法，它通过应用成对学习排序（Pairwise LtR）技术，将FM扩展到了排序领域。 ##### 1.1 成对交叉熵损失函数 给定一组样本对 $(a, b)$，以及样本 $a$ 排名高于样本 $b$ 的已知概率 $P_{ab}$。通过将模型的输出 $s_a$ 和 $s_b$ 映射到概率 $P_{ab}$，可以使用交叉熵（CE）损失函数来衡量 $P_{ab}$ 和 $P_{ab}$ 之间的偏差： \[ C_{ab} = C(s_{ab}) = -P_{ab} \log P_{ab} - (1 - P_{ab}) \log (1 - P_{ab}) \] 其中，$P_{ab} = \frac{1}{1 + e^{-(s_a - s_b)}}$。在推荐系统中，对于给定用户 $u$，$S_{ab} \in \{0, \pm1\}$ 表示用户对项目 $a$ 和 $b$ 的偏好关系，$P_{ab} = \frac{1}{2}(1 + S_{ab})$。将这些代入上式，可以得到： \[ C_{ab} = \frac{1}{2} (1 - S_{ab}) (s_a - s_b) + \log (1 + e^{-(s_a - s_b)}) \] ##### 1.2 目标函数 CE的目标是训练评分函数（即FM），以最小化排序概率估计的损失： \[ C = \sum_{a,b \in D_s} C_{a,b} + \sum_{\theta \in \Theta} \gamma_{\theta} \|\theta\|_2 \] 其中，$D_s$ 表示所有样本对的集合，$\|\cdot\|_2$ 是Frobenius范数，$\gamma_{\theta}$ 是L2正则化项的超参数。 #### 2. 优化方法 为了优化损失函数，采用随机梯度下降（SGD）方法。通过对目标函数求导，可以得到参数 $\theta$ 的更新公式： \[ \theta \leftarrow \theta - \eta \left( \frac{\partial C_{ab}}{\partial \theta} + \gamma_{\theta} \theta \right) \] 其中，$\frac{\partial C_{ab}}{\partial \theta} = \frac{\partial C_{ab}}{\partial s_a} \frac{\partial s_a}{\partial \theta} + \frac{\partial C_{ab}}{\partial s_b} \frac{\partial s_b}{\partial \theta}$，$\frac{\partial C_{ab}}{\partial s_a} = \frac{1 - S_{ab}}{2} - \frac{1}{1 + e^{-(s_a - s_b)}} = -\frac{\partial C_{ab}}{\partial s_b}$。 根据FM的多线性性质，可以推导出FM的梯度： \[ \frac{\partial \hat{y}(x_a)}{\partial \theta} = \begin{cases} 1 & \text{if } \theta \text{ is } w_0 \\ x_{a,i} & \text{if } \theta \text{ is } w_i \\ x_{a,i} \sum_{j=1}^n v_{j,f} x_{a,j} - v_{i,f} x_{a,i}^2 & \text{if } \theta \text{ is } v_{i,f} \end{cases} \] 将上述公式结合起来，可以得到 $v_{i,f}$ 和 $w_i$ 的更新公式： \[ v_{i,f} \leftarrow v_{i,f} - \eta \left[ \left( \frac{1 - S_{ab}}{2} - \frac{1}{1 + e^{-(s_a - s_b)}} \right) \left( \sum_{j=1}^n v_{j,f} (x_{a,i} x_{a,j} - x_{b,i} x_{b,j}) - v_{i,f} (x_{a,i}^2 - x_{b,i}^2) \right) + \gamma_{v_{i,f}} v_{i,f} \right] \] \[ w_i \leftarrow w_i - \eta \left[ \left( \frac{1 - S_{ab}}{2} - \frac{1}{1 + e^{-(s_a - s_b)}} \right) (x_{a,i} - x_{b,i}) + \gamma_{w_i} w_i \right] \] ##### 2.1 RankingFM学习算法 RankingFM的一般学习过程如下： ```plaintext 算法1：RankingFM学习 1: 输入：训练数据集，正则化参数 $\gamma$，学习率 $\eta$ 2: 输出：$\Theta = (w, V)$ 3: 初始化 $\Theta$：$w \leftarrow (0, ..., 0)$；$V \sim N(0, 0.1)$ 4: 重复 5: 对于用户 $u$ 给出的不同标签的 $a$ 和 $b$ 6: $s_a = \hat{y}(x_a)$，$s_b = \hat{y}(x_b)$ 7: 对于 $f \in \{1, ..., k\}$ 8: 对于 $i \in \{1, ..., n\}$ 且 $x_i \neq 0$ 9: 根据公式 (13) 更新 $v_{i,f}$ 10: 结束循环 11: 结束循环 12: 对于 $i \in \{1, ..., n\}$ 且 $x_i \neq 0$ 13: 根据公式 (14) 更新 $w_i$ 14: 结束循环 15: 结束循环 16: 直到收敛 17: 返回 $\Theta$ ``` 然而，在大多数实际的协同过滤（CF）场景中，负例和未知正例混合在一起，难以区分，这被称为一类协同过滤（OCCF）。为了解