基于自优化连续体的计算探索

### 基于自优化连续体的计算探索 在计算领域，材料对外部刺激的可编程响应可被视为一种计算方式。为了在材料中实现逻辑功能，需要将材料内部结构的时空动态映射到逻辑值空间。这一理念催生了许多非传统计算设备的实验原型，比如利用光敏Belousov - Zhabotinsky介质中的波片段相互作用、士兵蟹群、多头绒泡菌的片状伪足生长、“热冰”的结晶模式、原生质管中的蠕动波、丝状肌动蛋白分子、蛋白质维罗毒素以及植物根系等构建逻辑门、电路和二进制加法器。 #### 1. 自优化连续体概念 许多计算结构是从先前无序的材料中“构建”或演化而来的，例如多头绒泡菌网络、纳米管块或纳米粒子集合。这些计算结构可按需生长，逻辑门在材料的最优分布使内部能量最小化的连续体中发展，这种连续体被称为“自优化连续体”。除了多头绒泡菌，骨骼重塑、根系伸长、砂岩侵蚀、裂纹和闪电传播、神经元和血管生长等现象也体现了材料的自优化特性，这些现象与材料行为的非线性规律相关，其材料结构的演化受类似于结构拓扑优化中使用的算法控制。 #### 2. 材料拓扑优化 在连续介质力学中，拓扑优化旨在找到给定设计空间内满足特定最优性能目标的材料布局。它可应用于解决多种问题，如在给定导热材料量的情况下最大化散热、最大化通道内的流体流量、最大化结构的刚度和强度、开发满足特定机械和热物理特性的超材料、优化复合材料层压板中层的布局、设计反向声喇叭、模拟变形虫向食物源生长以及优化光子晶体带隙结构等。 拓扑优化的标准方法是使用固体各向同性材料惩罚法（SIMP），该方法通过材料密度ρ（从0表示无材料到1表示有材料）来建模材料布局，结构特性与材料密度的关系由幂律描述。目标函数的优化在于找到ρ的最优分布：minρf(ρ)。这个问题可以通过多种数值方案解决，如顺序二次规划（SQP）、移动渐近线法（MMA）和最优性准则（OC）法。拓扑优化问题也可以转化为寻找常微分方程（ODE）的驻点问题，在考虑密度约束的情况下，ODE的右侧项等于目标函数负梯度的投影，这种优化方法在投影动力系统理论中广泛应用，其数值方案可以使用简单的显式欧拉算法找到。 ##### 2.1 自然演化方法 经典的拓扑优化问题是找到结构内材料的最优布局以确保其最大刚度。需要在给定体积Ω内找到材料密度ρ的最优分布，以最小化柔度： \[ Minimize \quad C(\rho) = \int_{\Omega} E_{ijkl}(\rho(x)) e_{ij} e_{kl} d\Omega \] 其中 \[ E_{ijkl}(\rho(x)) = \rho^p(x) E_{ijkl}^0, \quad p > 1 \] 同时，ρ(x)的分布需要满足以下约束条件： \[ Subject \ to \quad \int_{\Omega} \rho(x) d\Omega \leq M, \quad 0 \leq \rho(x) \leq 1, \quad x \in \Omega \] 这里，$E_{ijkl}$是刚度张量，$E_{ijkl}^0$是ρ = 1时的局部刚度张量，u是位移，$e_{ij} = \frac{1}{2}(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i})$是线性化应变，M是材料总量的约束，p是惩罚幂（p > 1）。 为了解决上述问题，可以采用动态系统建模的方法。假设ρ依赖于一个类时间变量t，考虑以下微分方程来确定第i个积分点的密度ρi： \[ \dot{\rho}_i = \lambda \left( \frac{pC_i(\rho)}{V_i} - \mu \right), \quad C_i(\rho) = \int_{\Omega_i} E_{ijkl}(\rho(x)) e_{ij} e_{kl} d\Omega \] 其中，$\lambda$是具有物理维度的正常数，$\mu$是调节成本函数和质量约束相对重要性的正参数，通过以下表达式确定： \[ \mu = \frac{\sum_{i} C_i(\rho)}{M} \] 对于该微分方程的数值求解，使用投影欧拉方法，得到迭代公式： \[ \rho_i^{n + 1} = \left[ \rho_i^n + q \left( \frac{pC_i(\rho^n)}{V_i} - \mu^n \right) \right]_+ \] 其中，$q = \lambda \Delta t$，$\rho_i^{n + 1}$和$\rho_i^n$分别是$\rho_i(t + \Delta t)$和$\rho_i(t)$的数值近似，$\mu^n = \frac{\sum_{i} C_i(\rho^n)}{M}$。 考虑对上述公式的修改： \[ \rho_i^{n + 1} = \rho_i^n + \Delta \rho_i^n \] 其中，$\Delta \rho_i^n$的取值如下： \[ \Delta \rho_i^n = \begin{cases} K \left( \frac{pC_i(\rho^n)}{V_i} - \mu^n \right) & \text{if } \frac{pC_i(\rho^n)}{V_i} - \mu^n > 0 \text{ AND } \Delta \rho_i^{n - 1} > 0 \\ 0 & \text{if } \frac{pC_i(\rho^n)}{V_i} - \mu^n \leq 0 \text{ AND } \Delta \rho_i^{n - 1} < 0 \\ \frac{1}{k_0} \left( \frac{pC_i(\rho^n)}{V_i} - \mu^n \right) & \text{otherwise} \end{cases} \] 其中，$\Delta \rho_i^0 = 0$，K和k0是正常数。 最后，将$\rho_i^{n + 1}$投影到约束集上： \[ \rho_i^{n + 1} = \begin{cases} \rho_{min} & \text{if } \rho_i^{n + 1} < \rho_{min} \\ \rho_i^{n + 1} & \text{if } \rho_{min} \leq \rho_i^{n + 1} \leq \rho_{max} \\ \rho_{max} & \text{if } \rho_i^{n + 1} > \rho_{max} \end{cases} \] 其中，$\rho_{min}$是指定的ρi的最小值，$\rho_{max}$是指定的ρi的最大值，所有有限元的初始密度值设为$\rho_{min}$。 为了克服离散化可能导致的数值不稳定性，如网格依赖性和棋盘格图案，采用密度过滤方法，即在计算力学特性时，将所有建模域内的密度