未知源区域检测与子扩散过程可扩展性研究

### 未知源区域检测与子扩散过程可扩展性研究 #### 1. 未知源区域检测 在未知源区域检测中，有如下关键公式： \((\Lambda_{\omega}S)(t) = \sum_{m,n = 1}^{\infty} \int_{t}^{b} \int_{0}^{r} \frac{E_{\alpha,\alpha}(\lambda_{mn}(r - t)^{\alpha})}{(r - t)^{1 - \alpha}} \frac{E_{\alpha,\alpha}(\lambda_{mn}(r - \tau)^{\alpha})}{(r - \tau)^{1 - \alpha}} g(\tau)d\tau dr \times \xi_{mn}(\eta) \sum_{i = 1}^{q} (\xi_{mn}, f_i)^2_{L^2(D_i)}\xi_{mn}\) 根据相关定理，可通过求解方程 \(\Lambda_{\omega}S = Q_{\omega}^*z\) 从观测值 \(z\) 中寻找源 \(S\)。 ##### 1.1 点传感器 考虑 \(p\) 个点传感器 \((\sigma_i, \delta_{\sigma_i})_{1\leq i\leq p}\)，\(\omega -\) 战略传感器的充要条件是 \(p\geq1\)，且存在整数 \(i\)（\(i = 1, 2, \cdots, p\)）使得 \(\sin(m\pi\sigma_{i1})\sin(n\pi\sigma_{i2})\neq 0\) 对所有 \(m, n = 1, 2, \cdots\) 成立。 若 \(g\in L^2(0, +\infty; L^2(\Omega))\)，有 \((Q_{\omega}S)(t) = (z_1(t), z_2(t), \cdots, z_q(t))^T\in R^p\)，其中 \(z_i(t) = \sum_{m,n = 1}^{\infty} \int_{0}^{t} \frac{E_{\alpha,\alpha}(\lambda_{mn}(t - \tau)^{\alpha})}{(t - \tau)^{1 - \alpha}} g(\tau)d\tau\xi_{mn}(\eta)\xi_{mn}(\sigma_i)\)，\(i = 1, 2, \cdots, q\)，以及 \((Q_{\omega}^*z)(t) = \sum_{m,n = 1}^{\infty} \int_{t}^{b} \frac{E_{\alpha,\alpha}(\lambda_{mn}(r - t)^{\alpha})}{(r - t)^{1 - \alpha}} C^*z(r)dr\xi_{mn}(\sigma_i)p_{\omega}\xi_{mn}\)，则可得 \((\Lambda_{\omega}S)(t)\) 的表达式，进而根据定理从观测值 \(z\) 中寻找源 \(S\)。 ##### 1.2 Caputo 型时间分数阶扩散系统 考虑如下 Caputo 型时间分数阶扩散系统： \(\begin{cases} ^C_0D^{\alpha}_t y(t) + Ay(t) = S(t), t\in I, 0 < \alpha\leq 1\\ y(0) = y_0 \end{cases}\) 其中 \(S = (\Sigma, g, I)\) 为未知源，算子 \(A\) 和初始向量 \(y_0\) 有相应定义，\(^C_0D^{\alpha}_t\) 表示 Caputo 分数阶导数，测量值为 \(z(t) = Cy(t)\)。 若命题 3.1.4 成立，系统的解为 \(y(t) = \sum_{j = 1}^{\infty} \sum_{k = 1}^{r_j} [E_{\alpha}(-\lambda_jt^{\alpha})(\xi_{jk}, y_0)_{L^2(\Omega)} + \int_{0}^{t} \frac{E_{\alpha,\alpha}(-\lambda_j(t - \tau)^{\alpha})}{(t - \tau)^{1 - \alpha}} (S(\tau), \xi_{jk})_{L^2(\Omega)}d\tau]\xi_{jk}\)。 ###### 1.2.1 区域战略传感器 考虑自治系统 \(\begin{cases} ^C_0D^{\alpha}_t y(t) + Ay(t) = 0, t\in I\\ y(0) = y_0（未知） \end{cases}\)，此时 \(y(t) = S_{\alpha}(t)y_0(x)\)，输出函数 \(z(t) = Cy(t) = CS_{\alpha}(t)y_0\)。 若由 \(p\) 个传感器 \((D_i, f_i)_{1\leq i\leq p}\) 进行测量，输出函数为 \(z(t) = ((f_1, y(t))_{L^2(D_1)}, (f_2, y(t))_{L^2(D_2)}, \cdots, (f_p, y(t))_{L^2(D_p)})^T\)。对于算子 \(-A\)，若命题 3.1.4 满足，定义 \(p\times r_j\) 矩阵 \(G_j\) 为： \(G_j = \begin{bmatrix} \xi^1_{j1} & \xi^1_{j2} & \cdots & \xi^1_{jr_j}\\ \xi^2_{j1} & \xi^2_{j2} & \cdots & \xi^2_{jr_j}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \xi^p_{j1} & \xi^p_{j2} & \cdots & \xi^p_{jr_j} \end{bmatrix}_{p\times r_j}\) 其中 \(\xi^i_{jk} = (\xi_{jk}, f_i)_{L^2(D_i)}\)，\(i = 1, 2, \cdots, p\)，\(k = 1, 2, \cdots, r_j\)。则传感器 \((D_i, f_i)_{1\leq i\leq p}\) 是 \(\omega -\) 战略的当且仅当 \(p\geq r = \max\{r_j\}\) 且 \(\text{rank} G_j = r_j\) 对所有 \(j = 1, 2, \cdots\) 成立。 ###### 1.2.2 区域间谍传感器 对于系统 \(\begin{cases} ^C_0D^{\alpha}_t y(t) + Ay(t) = S(t), t\in I\\ y(0) = y_0 \end{cases}\)，由 \(p\) 个传感器 \((D_i, f_i)_{1\leq i\leq p}\) 测量，对应源 \(S\) 的输出函数 \(z(t) = (z_1(t), z_2(t), \cdots, z_q(t))^T\in R^p\)，其中 \(z_i(t) = \sum_{j = 1}^{\infty} \sum_{k = 1}^{r_j} [E_{\alpha}(-\lambda_jt^{\alpha})(\xi_{jk}, y_0)_{L^2(\Omega)} + \int_{0}^{t} \frac{E_{\alpha,\alpha}(-\lambda_j(t - \tau)^{\alpha})}{(t - \tau)^{1 - \alpha}} (S(\tau), \xi_{jk})_{L^2(\Omega)}d\tau]\xi^i_{jk}\)。 ###### 1.2.3 间谍传感器与战略传感器的关系 战略（\(\omega -\) 战略）传感器是间谍（\(\omega -\) 间谍）传感器，但反之不成立。当 \(g\in S\) 且 \(g\in L^2(0, +\infty; L^2(\Omega))\) 时，\((D_i, f_i)_{1\leq i\leq p}\) 是 \(\omega -\) 间谍传感器当且仅当它们是 \(\omega -\) 战略传感器。 ##### 1.3 区域检测源的方法 考虑系统 \(\begin{cases} ^C_0D^{\alpha}_t y(t) + Ay(t) = S(t), t\in I\\ y(0) = y_0 \end{cases}\) 及输出 \(z(t) = Cy(t)\)，若算子 \(Q_{\omega}\) 是单射的，则半范数 \(\|S\|_{F_{\omega}} = \|Q_{\omega}S\|_{L^2(0,b;L^2(\Omega))}\) 是范数，\(F_{\omega} := E_{\omega}\) 是具有内积 \(\langle S_1, S_2\ra