混合系统观测器设计与可达集计算

### 混合系统观测器设计与可达集计算 #### 1. 混合系统观测器误差分析 在混合系统中，观测器的设计至关重要。对于强制项，由于 \(t - t_{k + 1} \leq \Delta\)，可以得到一系列不等式关系。 - 首先对积分项进行分析： \(\left\|\int_{0}^{t - t_{k}'} e^{F_j(t - t_{k}' - \tau)}v(\tau + t_{k}') d\tau\right\| \leq n_k(F_j)\int_{0}^{t - t_{k + 1}} e^{\alpha(F_j)(t - t_{k + 1} - \tau)}\|v(\tau + t_{k + 1})\|d\tau\) 进一步推导可得： \(\leq n_k(F_j) \sup_{t \geq 0} \|v(t)\| \int_{0}^{t - t_{k + 1}} e^{\alpha(F_j)\tau} d\tau \leq n\sqrt{n_k(F_j)}\|v(t)\|_{\infty} \frac{e^{\alpha(F_j)(t - t_{k + 1})} - 1}{\alpha(F_j)}\) \(\leq n\sqrt{n_k(F_j)}V (t - t_{k + 1}) \leq n\sqrt{n_k(F_j)}V \Delta\)，其中 \(t \in [t_{k + 1}, t_{k + 1}']\)。 - 然后结合相关等式，对观测误差 \(\|\zeta(t)\|\) 进行上界估计： \(\|\zeta(t)\| \leq n_k(F_j)e^{\alpha(F_j)(t - t_{k}')}\|\zeta(t_{k}')\| + \left(1 - e^{-\mu\beta}\right)M_0\)，\(t \in (t_{k}', t_{k + 1}']\)。 这表明观测误差 \(\|\zeta(t)\|\) 的演化由一个混合系统的演化上界所限制。若观测器增益根据特定条件选取，观测误差将指数收敛到一个集合 \(\|x - \tilde{x}\| = \|\zeta(t)\| \leq M_0\)，收敛速度大于或等于 \(-\mu\)。 #### 2. 利用防护条件改进连续状态估计 在某些情况下，混合系统中离散转换的检测可用于改进观测器连续状态 \(\tilde{x}\) 向系统连续状态 \(x\) 的收敛。 - 当检测到系统离散转换时，若能从该转换获取系统连续状态 \(x\) 的完整信息，可使连续观测器瞬间跳转到系统当前连续状态，从而使观测误差瞬间归零。 - 假设系统处于位置 \(q_i\)，在时刻 \(t_k\) 识别出产生强制转换的事件 \(\sigma_j\)，若以下方程组对 \(x\) 有唯一解： \(C_i x = y(t_{k}^{-})\) \(\sigma_j \in \varphi(q_i, x, u(t_{k}^{-}))\) 则可实现系统连续状态的瞬间检测。类似条件可用于在某些条件不满足时，对连续系统状态中不可观测子空间的分量进行开环观测。 #### 3. 可达集计算的基本概念 在系统安全验证中，计算可达状态集是关键步骤。可达状态集是指系统从某些初始状态出发，存在轨迹能够进入不安全状态集（或目标集）的所有初始状态的集合。若系统初始状态在该集合之外，则系统安全属性得到验证。 - 考虑如下控制问题： \(\begin{cases} \dot{x}(t) = f(x(t), u(t)), & t > 0 \\ x(0) = x \end{cases}\) 其中 \(u(\cdot) \in U := \{u : [0, +\infty[ \to U, \text{measurable}\}\)，\(U\) 是紧致度量空间，\(x \in X = \mathbb{R}^N\)，\(f\) 在 \(u\) 上连续，在 \(x\) 上 Lipschitz 连续。将其改写为集值形式： \(\begin{cases} \dot{x}(t) \in F(x(t)) := \{f(x, u)\}_{u \in U} \\ x(0) = x \end{cases}\) 设 \(K \subset X\) 为约束集，\(C\) 为 \(K\) 中的闭集，目标是找到存在从 \(x\) 出发的轨迹，在有限时间内保持在 \(K\) 中并到达 \(C\) 的初始条件 \(x\) 的集合 \(W_K^C\)。 - 定义最小到达时间函数： \(\theta_K^C(x) = \inf_{x(\cdot) \in S_F(x)} \inf\{t \in \mathbb{R}^+ : x(t) \in C \land (\forall s < t, x(s) \in K)\}\) 若所有从 \(x\) 出发的轨迹在到达目标之前离开 \(K\)，或永远停留在 \(K\) 中但未到达 \(C\)，则 \(\theta_K^C(x) = +\infty\)