图分区算法与LUD增量计算的研究与实验分析

### 图分区算法与LUD增量计算的研究与实验分析 #### 图分区算法相关研究 在图分区算法中，有几个关键的衡量指标，包括负载平衡和边割平衡，同时时间复杂度也是重要的考量因素。 ##### 衡量指标定义 - **负载平衡（λ）**：负载平衡值λ越小，分区结果越好。当λ值为1时，每个集合中的节点数量相同，这是最佳的分区结果。 - **边割平衡（β）**：连接不同集合中顶点的边的数量定义为边割。边割的最大数量与平均数量的比值定义为边割平衡。用$E_{ij}$表示连接集合$i$和集合$j$中顶点的边的集合，β表示边割平衡，则$\beta = \frac{max(E_{ij})}{aver(E_{ij})}$，其中$1 \leq i, j \leq k$且$i \neq j$。边割平衡值越小，同一集合中节点的连接越紧密，分区结果越好，最佳结果是β值为1。 ##### 实验环境与参数 使用Peersim模拟器进行图分区实验，P2P网络拓扑由BRITE拓扑生成器生成的拓扑文件创建。实验针对根据Waxman（随机）或Barabasi（幂律）模型设计的图分区，相关参数如下表所示： | 拓扑类型 | 参数说明 | | ---- | ---- | | 随机P2P网络拓扑 | 拓扑类型：ROUTER ONLY；节点数量（N）：1000 - 50000；模型：Waxman；节点放置：Random；增长类型：Incremental；m：2/5 | | 幂律P2P网络拓扑 | 拓扑类型：ROUTER ONLY；节点数量（N）：1000 - 50000；模型：Barabasi；节点放置：Random；增长类型：Incremental；m：2/5 | ##### 实验结果与分析 - **负载平衡和边割平衡实验**：生成不同规模的幂律和随机网络拓扑，定义$k = 5$进行实验。实验结果表明，负载平衡值λ和边割平衡值β都在1到2之间，对于图分区算法来说是可接受的结果。随机网络拓扑的分区结果明显优于幂律网络拓扑，对于同一类型的图（除节点数量外参数相同），分区结果大致相同。部分实验数据如下表： | 网络类型 | m值 | N | E | max($V_i$) | aver($V_i$) | λ | max($E_{ij}$) | aver($E_{ij}$) | β | | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | | 幂律P2P网络拓扑 | 2 | 1000 | 1997 | 284.01 | 200 | 1.42 | 137.87 | 78.81 | 1.75 | | 幂律P2P网络拓扑 | 2 | 2000 | 3997 | 572.15 | 400 | 1.43 | 260.77 | 151.74 | 1.72 | | 随机P2P网络拓扑 | 2 | 1000 | 2000 | 226.8 | 200 | 1.13 | 109.6 | 79.46 | 1.38 | | 随机P2P网络拓扑 | 2 | 2000 | 4000 | 466 | 400 | 1.17 | 219.8 | 159.98 | 1.37 | - **集合大小和边割大小实验**：对随机网络拓扑进行集合大小和边割大小的实验，网络拓扑大小定义为5000，改变边的数量。实验结果显示，集合大小和边割大小大致相同，负载平衡和边割平衡值接近1，这也是图分区算法的合理指标。部分实验数据如下： | N | m | E | $V_1$ | $V_2$ | $V_3$ | $V_4$ | $V_5$ | λ | | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | | 5000 | 2 | 10000 | 1067 | 1075 | 876 | 915 | 1067 | 1.075 | | 5000 | 3 | 15000 | 1071 | 1056 | 952 | 1063 | 858 | 1.071 | | N | E | $E_{12}$ | $E_{13}$ | $E_{14}$ | $E_{15}$ | $E_{23}$ | $E_{24}$ | $E_{25}$ | $E_{34}$ | $E_{35}$ | $E_{45}$ | β | | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | |