解析机器下解析函数的可计算性

### 解析机器下解析函数的可计算性 #### 1. 引言 在计算理论的研究中，解析函数的可计算性是一个重要的课题。解析机器作为一种新型的计算模型，为研究解析函数的可计算性提供了新的视角。它结合了 BSS 机器和递归分析的特点，既允许对实数进行精确的算术运算，又能进行无限收敛的计算。 #### 2. 解析机器的定义与性质 ##### 2.1 机器模型 解析机器是一种寄存器机器模型，类似于 Blum, Shub 和 Smale 的 BSS 机器。对于有限计算，它们具有相同的计算能力，但解析机器通过引入无限收敛计算扩展了 BSS 机器的功能。 一个数学机器 $M$ 可以表示为一个元组 $M = (K, K_i, K_f, K_t, \Delta, A, \text{in}, \text{out})$，其中： - $K$ 是机器的配置集合。 - $K_i$、$K_f$ 和 $K_t$ 分别是初始、最终和目标配置集合。 - $\Delta : K \to K$ 是转移函数，且在 $K_f$ 上 $\Delta|_{K_f} = \text{id}_{K_f}$。 - $\text{in} : A^* \to K_i$ 和 $\text{out} : K \to A^*$ 分别是输入和输出函数。 一个计算序列 $b = (k_i)_{i \in \mathbb{N}} \in K^{\mathbb{N}}$，其中 $k_0 = \text{in}(x)$ 且 $k_{i + 1} = \Delta(k_i)$，被称为机器 $M$ 对输入 $x$ 的计算。如果存在 $n \in \mathbb{N}$ 使得 $k_n \in K_f$，则该计算是有限的或停机的，最小的 $n$ 称为计算长度，$\text{out}(k_n)$ 是计算结果。 假设 $A^*$ 上有一个度量，我们还可以考虑无限收敛计算。如果一个计算序列 $b = (k_i)_{i \in \mathbb{N}}$ 无限次达到目标配置，且目标配置子序列 $(k_{i_n})_{n \in \mathbb{N}} \subset K_t$ 的极限 $\lim_{n \to \infty} \text{out}(k_{i_n})$ 存在，则称该计算为解析计算，此极限为解析计算的结果，$\text{out}(k_{i_n})$ 称为第 $n$ 次近似。 机器 $M$ 的定义域 $D_M$ 是所有使得 $M$ 对输入 $x$ 的计算为解析或有限的 $x \in A^*$ 的集合，其停机集 $H_M$ 是所有使得 $M$ 对输入 $x$ 的计算为有限的 $x \in A^*$ 的集合。在其定义域上，机器 $M$ 定义了一个函数 $\Phi_M : D_M \to A^*$。 解析机器通常是在包含整数的环 $R$ 上的寄存器机器，主要用于有理数、实数和复数域 $\mathbb{Q}$、$\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{C}$。其基本结构包括控制单元（含累加器 $\alpha$、程序计数器 $\beta$ 和索引寄存器 $\gamma$）、可读取的无限输入带 $x$、可写入的无限输出带 $y$ 和无限内存 $z$，以及一个有限程序 $\pi$，程序指令集 $\Omega = \Omega_R$ 如下： 1. **赋值指令**： - $\alpha := x_i, \alpha := z_i, y_i := \alpha, z_i := \alpha$，$i \in \mathbb{N} \cup \{\gamma\}$ - $\alpha := c$，$c \in R$ - $\gamma := 0$ 2. **算术指令**： - $\alpha := \alpha + z_i, \alpha := \alpha \cdot z_i$ - $\alpha := -\alpha, \alpha := \frac{1}{\alpha}$ - $\gamma := \gamma + 1, \gamma := \gamma \dot{-} 1$ 3. **分支指令**： - $\text{goto } m$ - $\text{if } \alpha > 0 \text{ then goto } m \text{ else goto } n$（$R$ 有序） - $\text{if } \alpha \neq 0 \text{ then goto } m \text{ else goto } n$（$R$ 无序） - $\text{if } |\alpha| > |z_i| \text{ then goto } m \text{ else goto } n$（$R = \mathbb{C}$） 4. **特殊指令**：$\text{end}, \text{print}, \text{exception}$ ##### 2.2 可计算函数的定义 设 $D \subset R^*$，一个函数 $f : D \to R^*$ 被称为解析 $R$-可计算的，如果存在一个 $R$-机器 $M$ 使得 $D \subset D_M$ 且 $f = \Phi_M|_D$。如果存在一个 $R$-机器 $M$ 使得 $D \subset H_M$ 且 $f = \Phi_M|_D$，则称 $f$ 是 $R$-可计算的。一个集合 $A \subset R^*$ 被称为（解析）可判定的，如果其特征函数 $\chi_A$ 是（解析）可计算的。 ##### 2.3 可计算函数的性质 对于有限可计算函数，有 Blum, Shub 和 Smale 关于 $R$-可计算函数的著名表示定理：假设 $D \subset \mathbb{R}^n$（或 $\mathbb{C}^n$），且 $f$ 是 $D$ 上的 $R$-可计算（或 $\mathbb{C}$-可计算）函数，则 $D$ 是可数多个半代数集的并集，且在每个这样的集合上 $f$ 是一个有理函数。 ##### 2.4 不可判定问题 图灵机的停机问题是不可判定的，但解析 $R$-机器可以轻松判定该问题。解析机器的类似停机问题是收敛问题，即判定一个给定的解析机器对其输入是否收敛。通过对角化方法可以证明，这个函数不是解析可计算的。然而，当组合多个解析机器时，收敛问题变得可判定。 下面的定理表明，两个组合的解析机器就足以判定解析机器在实数上的收敛问题： **定理 2.3**：解析机器在实数上的收敛问题可由两个组合的解析机器判定。 **证明**： 设 $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ 是输入机器 $M$ 的目标配置输出序列。目标是检查 $(a_n)$ 是否为柯西序列。令 $b_k := \sup_{n > m \geq k} |a_n - a_m|$，则序列 $(a_n)$ 收敛当且仅当 $\lim_{k \to \infty} b_k = 0$。 为了判定一个序列是否收敛到零，考虑将数字四舍五入到下一个更高的 2 的幂次形成的序列。定义 $r(x, k) := \max\{j \leq k : 2^{-j} \geq x\}$ 对于 $x < 1$，