相对论系统中的波包运动、能量表示与相对论不变性

# 相对论系统中的波包运动、能量表示与相对论不变性 ## 1. 波包的超光速运动 ### 1.1 波包运动的时空图 在一维空间中，经典粒子的运动可以用函数 \(t \to x(t)\) 描述，其时空轨迹（世界线）是所有点 \((x(t), ct)\) 的集合，这里 \(c\) 是光速，乘以 \(t\) 使时间坐标具有长度的量纲。通常在时空图中，以 \(x\) 为横轴，\(ct\) 为纵轴绘制世界线。例如，\(ct\) 轴是位于 \(x = 0\) 处静止粒子的世界线，世界线与垂直的 \(ct\) 轴的夹角是粒子速度的一种度量，所有有质量粒子的世界线必须比光子的世界线（夹角为 \(45^{\circ}\)）更陡。 波包的时空图展示了标准位置概率密度随空间和时间坐标的变化。波包的位置密度有多个局部最大值，这些波动以超光速运动，光子的世界线（白色虚线）比位置概率密度的深色条纹更陡，而白色实线是平均位置 \(\langle x(t) \rangle_{\psi}\) 的世界线，粒子的经典速度低于光速，且波包几乎没有颤动（Zitterbewegung）。 ### 1.2 超光速运动的解释 波包波动的超光速运动并不与相对论矛盾。这些波动是具有正负能量的较慢移动波包干涉的结果，干涉图案不会从一点向另一点传递信息，因此可以以任意速度移动。 经典的例子是莫尔条纹（Moiré pattern），通过叠加两个略有不同的周期性图案产生。例如，将两个口袋梳子一前一后放置，透过它们的齿可以观察到莫尔条纹。缓慢滑动一个梳子，会看到莫尔条纹快速移动。在时空图中，两个一维规则的黑点网格图案，一个静止，另一个缓慢向右滑动，它们的叠加产生了莫尔条纹，即空间中明暗区域的周期性交替，其中暗区的移动速度远超过光速。 ## 2. 能量表示和速度空间 ### 2.1 变量替换 对于一维自由粒子，相关的物理可观测量有能量 \(E\)、动量 \(k\) 和速度 \(v\)，在狄拉克量子力学中，这些量可能为正或负。根据狭义相对论，它们之间的关系为： \[v = \frac{c^2k}{E}\] \[E^2 = c^2k^2 + m^2c^4\] 通过这两个关系，可以将其中任何一个量表示为其他量和第三个量符号的函数，例如： \[v = \frac{c^2k}{\sqrt{c^2k^2 + m^2c^4}}\text{sgn}E = c\frac{\sqrt{E^2 - m^2c^4}}{E}\text{sgn}k\] ### 2.2 能量表示 在散射理论中，有时使用能量作为变量很有用。通过变量替换可以得到能量表示，当用变量 \(E\) 替换变量 \(k\) 时，需要考虑 \(k\) 不仅是 \(E\) 的函数，还取决于 \(v\) 的符号（即运动方向）。 定义 \(\kappa(E) = \frac{E}{c}\left(1 - \frac{m^2c^4}{E^2}\right)^{\frac{1}{2}}\)，对于所有 \(E \in \sigma(H_0)\)，则 \(k = \kappa(E) \text{sgn}v\)。 定义具有正速度的平面波（相应的波包将向右移动）： \[\omega_{\to}(E; x) = n(E) \begin{cases} u_{pos}(\kappa(E), x) & \text{for } E > mc^2 \\ u_{neg}(\kappa(E), x) & \text{for } E < -mc^2 \end{cases}\] 时间相关的正速度平面波为 \(\omega_{\to}(E; x, t) = \omega_{\to}(E; x) e^{-iEt}\)。 类似地，定义具有负速度的平面波： \[\omega_{\leftarrow}(E; x) = n(E) \begin{cases} u_{pos}(-\kappa(E), x) & \text{for } E > mc^2 \\ u_{neg}(-\kappa(E), x) & \text{for } E < -mc^2 \end{cases}\] \(\omega_{\leftarrow}(E; x, t) = \omega_{\leftarrow}(E; x) e^{-iEt}\) 还定义了 \(b_{\pm}(E) = \sqrt{\frac{1}{2}\left(1 \pm \frac{mc^2}{E}\right)}\)，对于 \(E \in \sigma(H_0)\)。 任何波包 \(\psi\) 都可以分解为向右和向左移动的部分： \[\psi = \psi_{\to} + \psi_{\leftarrow}, \quad \langle \psi_{\to}, \psi_{\leftarrow} \rangle = 0\] 向量值函数 \(g(E) = \begin{pmatrix} g_{\to}(E) \\ g_{\leftarrow}(E) \end{pmatrix}\) 称为 \(\psi\) 的能量表示，当 \(\psi\) 是平方可积时，\(g\) 也是，且 \(\|