顶点条件的二次型参数化及重要类型解析

### 顶点条件的二次型参数化及重要类型解析 #### 1. 二次型确定自伴算子的原因 在数学物理中，常常通过二次型（更准确地说是半双线性型）来确定自伴算子，原因主要有两点： - 半有界自伴算子与其二次型之间存在一一对应关系。 - 二次型可直接用于极小 - 极大和极大 - 极小原理，以确定离散谱和相应的特征函数。 #### 2. 算子 \(L_{q,a}^S\) 的半双线性型计算 算子 \(L_{q,a}^S\) 的半双线性型 \(Q_{q,a}^S(u, u)\) 可明确计算，其表达式如下： \[ \begin{align*} Q_{q,a}^S(u, u) &\equiv \langle L_{q,a}^S u, u\rangle_{L^2(\Gamma)}\\ &= \sum_{n = 1}^{N} \left( \int_{E_n} - \left(\frac{d}{dx} - i a(x)\right)^2 u(x) \overline{u(x)} dx + \int_{E_n} q(x) |u(x)|^2 dx \right)\\ &= \sum_{x_j} \partial u(x_j) u(x_j) + \sum_{n = 1}^{N} \left( \int_{E_n} \left|\left(\frac{d}{dx} - i a(x)\right) u(x)\right|^2 dx + \int_{E_n} q(x) |u(x)|^2 dx \right)\\ &= \sum_{m = 1}^{M} \langle \vec{\partial} u(V^m), \vec{u}(V^m) \rangle_{\mathbb{C}^{d^m}} + \sum_{n = 1}^{N} \left( \int_{E_n} \left|\left(\frac{d}{dx} - i a(x)\right) u(x)\right|^2 dx + \int_{E_n} q(x) |u(x)|^2 dx \right)\\ &= \sum_{m = 1}^{M} \langle A_{S^m} \vec{u}(V^m), \vec{u}(V^m) \rangle_{\mathbb{C}^{d^m}} + \sum_{n = 1}^{N} \left( \int_{E_n} \left|\left(\frac{d}{dx} - i a(x)\right) u(x)\right|^2 dx + \int_{E_n} q(x) |u(x)|^2 dx \right) \end{align*} \] 半双线性型 \(Q_{q,a}^S\) 的定义域 \(Dom Q_{q,a}^S\) 是通过将 \(Dom (L_{q,a}^S)\) 关于范数 \(Q_{q,a}^S(u, u) + C \|u\|^2\) 进行闭包得到的，其中常数 \(C\) 需选取得足够大以确保正性。假设 \(q\) 和 \(a\) 分别满足一定假设条件，在此条件下，\(Q_{q,a}^S(u, u)\) 有界当且仅当 \(u \in W_2^1(\Gamma - V)\)。 #### 3. 顶点条件的变化 - 来自 \(W_2^1(\Gamma - V)\) 的每个函数在每条边上是连续的，但一阶导数不再连续，即泛函 \(u \mapsto u'(x)\) 关于 Sobolev 空间 \(W_2^1(\Gamma - V)\) 中的范数无界。这导致顶点条件中的 Robin 部分（即某方程中的第二个方程）不被保留。 - 另一方面，\(Dom (L_{q,a}^S)\) 关于 \(W_2^1\) - 范数的闭包中的每个函数满足 Dirichlet 部分（即某方程中的第一个方程）。 #### 4. 二次型定义域及顶点条件的重构 二次型的定义域由 Sobolev 空间 \(W_2^1(\Gamma - V)\) 中仅满足特定第一个条件 \(P_{-1}^m \vec{u}(V^m) = 0\)（\(m = 1, 2, \cdots, M\)）的所有函数组成。虽然顶点条件的 Robin 部分在二次型定义域的描述中未被保留，但可以进行重构。二次型 \(Q_{q,a}^S\) 能确定唯一的顶点条件，其定义域确定投影算子 \(P_{-1}^m\) 及子空间 \((I - P_{-1}^m) \mathbb{C}^{d^m}\)，二次型 \(\langle A^m \vec{u}(V^m), \vec{u}(V^m) \rangle_{\mathbb{C}^{d^m}}\) 确定 Hermitian 矩阵 \(A^m\)，从而酉矩阵 \(S^m\) 由以下公式给出： \[S^m = P_{-1}^m^{\perp} \frac{iI - A^m}{iI + A^m} P_{-1}^m^{\perp} \oplus (-P_{-1}^m)\] 其中 \(P_{-1}^m^{\perp} = (I - P_{-1}^m)\)。 #### 5. 标准顶点条件对应的二次型 标准顶点条件对应于二次型 \(Q_{q,a}(u, u) = \sum_{n = 1}^{N} \left( \int_{E_n} \left|\left(\frac{d}{dx} - i a(x)\right) u(x)\right|^2 dx + \int_{E_n} q(x) |u(x)|^2 dx \right)\)，此二次型中无顶点项。其定义域由 \(W_2^1(\Gamma - V)\) 中在顶点处连续的所有函数组成。从这个从物理角度最自然的二次型出发，可得到由标准顶点条件确定的 Schrödinger 算子。若要求算子定义域中的函数在顶点处连续且二次型不含顶点项，则会出现标准顶点条件。 #### 6. 不同定义域下二次型对应的 Schrödinge