测量系统中的信号处理与转换

### 测量系统中的信号处理与转换 #### 1. A/D 和 D/A 转换器的参考源要求 在 A/D 和 D/A 转换器中，参考源的性能至关重要。若要使用分辨率为 \(2^{-n}\) 的 n 位 A/D 和 D/A 转换器对电压信号进行数字化或重建，其参考源的温度稳定性和噪声不应使数字信号的变化超过 1 LSB 值。例如，对于 16 位分辨率，参考电压在给定温度范围内的温度变化不应大于 \(1.5\times10^{-5}\)，有效噪声值也不应超过此限制。 为衡量 A/D 和 D/A 测量系统中参考电压源噪声及其他噪声源的影响，定义了有效分辨率（ER）。对于 A/D 系统，其 ER 由电压范围与输出数字信号噪声分量有效值的比值确定，公式如下： \[ER = \log_2\left(\frac{U_{FS}}{U_n}\right)\] A/D 和 D/A 系统的有效分辨率总是小于其标称分辨率，且大于有效位数（ENOB），ENOB 还与频率有关。例如，一个 16 位的 A/D 系统在给定数字化信号频率下，有效分辨率可达 15 位，有效位数在 12.5 - 13.5 位之间。 常见参考电压源的参数如下表所示： | 工作原理 | 类型 | 标称电压 | 温度系数 | RMS 噪声 | | --- | --- | --- | --- | --- | | 温度补偿齐纳二极管 | LTC 1021 - 10 | 10.00 V | 50 mV/K | 3.5 mV | | 温度补偿齐纳二极管 | LM 199 | 6.95 V | 5 mV/K | 3 mV | | 双极晶体管的 BE 结 | REF 195 (6) | 2.048 V (4.096 V) | 5 mV/K | 5 mV | | 单极晶体管的 GS 结 | ADR 291 | 2.5 V | 12 mV/K | 8 mV | | 单极晶体管的 GS 结 | ADR35xx | 2.5 V, 5 V | 7 mV/K | 16 mV | | 单极晶体管的 GS 结 | ADR45xx | 2.5 V, 5 V | 7 mV/K | 10 mV | #### 2. 重复测量的数据处理 在对一个或多个量进行重复测量时，根据国际标准化组织（ISO）的建议，测量量的最可能值被认为是其平均值，计算公式为： \[X_s = \frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}X_i\] 其中 \(N\) 是一个测量量的连续测量值的数量。 测量量确定的不确定性由各个测量值与其平均值的平方偏差的平均值决定，称为均方偏差，公式如下： \[\sigma = \sqrt{\frac{1}{N - 1}\sum_{i = 1}^{N}(X_i - X_s)^2}\] 理论上，通过 \(N\) 次独立测量一个量，其均方偏差可以按 \(1/\sqrt{N}\) 的比例减小。但实际上，由于各次测量结果之间可能存在部分相关性，该比例可能会更小。 当进行大量独立测量（如几百到几千次）时，测量值的出现频率（概率密度）可以用正态（高斯）分布来定义： \[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)\] 其中 \(\mu \approx X_s\) 是平均值，\(\sigma\) 是标准差。 随机变量 \(x\) 在区间 \((x_1, x_2)\) 内的概率与概率密度 \(f(x)\) 的关系为： \[p(x_1, x_2) = \int_{x_1}^{x_2}f(x)dx\] 在技术实践中，通常要求测量值的出现概率（即显著性水平）在指定区间内变化。最常用的区间是 \(\alpha = \pm2\sigma\) 或 \(\pm3\sigma\)，在这些区间内测量值出现的概率分别为 95% 和 99.8%。不同区间对应的测量值出现概率如下表所示： | \(\alpha\) | \(\mu \pm a \cdot s\) | 概率 | | --- | --- | --- | | 0.674 | - | 0.500 | | 1.000 | - | 0.683 | | 1.645 | - | 0.900 | | 2.000 | - | 0.950 | | 3.010 | - | 0.998 | 如果可用的测量次数 \(N\) 较少（如只有几十次），使用学生 t 分布来确定均方偏差更为合适。该分布的概率密度由以下方程定义： \[f(x) = \frac{\Gamma\left(\frac{N + 1}{2}\right)}{\sqrt{N\pi}\Gamma\left(\frac{N}{2}\right)}\left(1 + \frac{x^2}{N}\right)^{-\frac{N + 1}{2}}\] 其中 \(\Gamma(N)\) 是伽马函数，\(\Gamma(N) = (N - 1)!\)。该分布的均方偏差为 \(\sigma = \sqrt{\frac{N}{N - 2}}\)，当 \(N > 20\) 时，其性质与正态高斯分布几乎没有区别。 多个变量的函数依赖关系的均方偏差可以通过这些函数依赖关系的偏导数之和来确定。例如，对于两个测量量 \(A\) 和 \(B\) 的均方偏差 \(\sigma(A)\) 和 \(\sigma(B)\)，它们的和或差的均方偏差为： \[\sigma_{A \pm B}^2 = \sigma(A)^2 + \sigma(B)^2\] 如果函数依赖关系由测量量的乘积或商确定，则这些依赖关系的均方根偏差由以下方程确定： \[\sigma_{A \cdot B}^2 = \mu_B^2\sigma(A)^2 + \mu_A^2\sigma(B)^2\] \[\sigma_{A / B}^2 = \frac{\sigma(A)^2}{\mu_B^2} + \frac{\mu_A^2\sigma(B)^2}{\mu_B^4}\] #### 3. 时域信号处理 时域中数据和信号的处理包括确定它们的平均值和有效值、交流信号的周期、信号的相关性和自相关性。 ##### 3.1 信号平均值和有效值的确定 信号的平均值（MV），即简单平均值，由信号样本 \(y_i\)（\(i = 1, 2, \cdots, N\)）的值之和除以样本数量 \(N\) 确定： \[Y_M = \frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}y_i\] 除了简单平均值，还使用移动平均值（MA），它由给定文件中信号样本的平均值定义，其中先前的信号样本逐渐被后续样本替换： \[Y_{MA} = \frac{1}{N}\sum_{i = j}^{j + N - 1}w_iy_i\] 其中 \(w_i\)（\(i = 1, 2, \cdots, N\)）是给定数据集中第 \(i\) 个样本的权重。根据信号样本的权重，可分为简单移动平均值（SMA，\(w_i = 1\)）、二进制步进移动平均值（BSMA，\(w_i = 2^n\)）和指数移动平均值（EMA，\(w_i = e^{-n}\)）。 信号的有效值（RMS）由给定数据集中样本的均方根定义： \[Y_{RMS} = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}y_i^2}\] 当确定周期信号的平均值和有效值时，如果信号的周期时间 \(T_p\) 不是采样信号周期时间 \(T_s\) 的整数倍，即非相干采样，且从一个信号周期中采集的样本数量 \(N\) 较少，可能会导致误差，误差可近似由以下方程确定： \[\Delta X_{MA} \approx \frac{y_{N + 1} - y_N}{2}\] \[\Delta X_{RMS} \approx \frac{y_{N + 1}^2 - y_N^2}{2}\] 确定周期信号的周期时间时，