多重递归III：回溯算法详解

# 多重递归III：回溯算法详解 回溯算法是一种通过尝试所有可能的解决方案来解决问题的算法。它在递归的过程中，当发现当前的部分解决方案无法得到有效的完整解决方案时，会回退到上一步，尝试其他的选择。本文将详细介绍回溯算法在生成子集、排列以及解决N皇后问题中的应用。 ## 1. 生成子集 ### 1.1 固定长度的部分解决方案 对于生成n个不同元素的所有子集，一种方法是使用固定长度的部分解决方案。每个子集可以用一个长度为n的二进制列表表示，其中0或1表示元素是否在子集中。 以下是生成子集的代码： ```python def generate_subsets(i, sol, elements): # Base case if i == len(elements): # Print complete solution print_subset_binary(sol, elements) else: # Generate candidate elements for k in range(0, 2): # Include candidate in partial solution sol[i] = k # Expand partial solution at position i+1 generate_subsets(i + 1, sol, elements) # Remove candidate from partial solution sol[i] = None # optional def generate_subsets_wrapper(elements): sol = [None] * (len(elements)) generate_subsets(0, sol, elements) def print_subset_binary(sol, elements): no_elements = True print('{', end='') for i in range(0, len(sol)): if sol[i] == 1: if no_elements: print(elements[i], sep='', end='') no_elements = False else: print(', ', elements[i], sep='', end='') print('}') ``` 调用 `generate_subsets_wrapper(['a','b','c'])` 的输出如下： ``` {} {c} {b} {b, c} {a} {a, c} {a, b} {a, b, c} ``` 这个算法的递归树是二叉树，每个节点代表一个部分解决方案，叶子节点代表完整的子集。 ### 1.2 可变长度的部分解决方案 另一种方法是使用可变长度的部分解决方案，此时不需要参数 `i`。 以下是相应的代码： ```python def generate_subsets_alt(sol, a): # Base case if len(sol) == len(a): # Print complete solution print_subset_binary(sol, a) else: # Generate candidate elements for k in range(0, 2): # Include candidate in partial solution sol = sol + [k] # Expand partial solution at position i+1 generate_subsets_alt(sol, a) # Remove candidate from partial solution del sol[-1] def generate_subsets_alt_wrapper(elements): sol = [] generate_subsets_alt(sol, elements) ``` 在这种方法中，每次递归调用时，会动态地添加和删除元素。与固定长度的方法相比，这种方法在效率上可能较低，因为动态添加和删除元素会消耗更多的时间。 ## 2. 生成排列 ### 2.1 不使用额外数据结构检查部分解决方案的有效性 生成n个不同元素的所有排列时，可以使用部分解决方案，其中只有前几个元素是有意义的。 以下是生成排列的代码： ```python def generate_permutations(i, sol, elements): # Base case if i == len(elements): print_permutation(sol) # complete solution else: # Generate candidate elements for k in range(0, len(elements)): # Check candidate validity if not elements[k] in sol[0:i]: # Include candidate in partial solution sol[i] = elements[k] # Expand partial solution at position i+1 generate_permutations(i + 1, sol, elements) # Remove candidate from par ```