心脏细胞中二联裂隙钙离子动力学与电磁waveguide分析

### 心脏细胞中二联裂隙钙离子动力学与电磁 waveguide分析 #### 1. 心脏细胞中二联裂隙钙离子动力学模型 在心脏细胞的研究中，提出了一个关于二联裂隙中钙离子（Ca²⁺）动力学的计算模型。该模型由一个耦合的随机和连续系统组成。对于连续系统，采用了有限元方法进行离散化和求解，借助DOLFIN工具来实现这一过程。 由于连续系统是一个对流 - 扩散方程，在离散化时会产生不稳定的情况，因此研究了如何使用流线迎风Petrov - Galerkin（SUPG）方法来保证稳定性。具体操作是采用了三种不同的网格，这些网格在电势边界层具有不同的分辨率，并且针对每个网格找到了L²最优的全局稳定参数τ。 虽然没有提出随机系统的求解器，但给出了一个时间步进方案，该方案可用于将随机求解器与连续系统的求解器进行耦合。同时，还简要介绍了一个模拟器diffsim，它实现了所提出的时间步进方案以及连续系统的求解器。 #### 2. 电磁学与波导基础 在电磁学领域，电场和磁场的行为由麦克斯韦方程组描述。利用这些偏微分方程，根据不同的问题可以得到各种边值问题。对于时谐场，常用的是矢量亥姆霍兹波动方程。当问题限定在由理想电导体或磁导体包围的区域（如一般的波导问题）时，电场的波动方程可以表示为： \[ \nabla\times\frac{1}{\mu_r}\nabla\times\vec{E}-k_{o}^{2}\epsilon_r\vec{E}=0 \quad\text{in}\ \Omega_v \] 其中，\(\mu_r\)和\(\epsilon_r\)分别是相对磁导率和相对介电常数，\(k_o\)是工作波数，与工作频率\(f_o\)的关系为\(k_o = \frac{2\pi f_o}{c_0}\)，\(c_0\)是自由空间中的光速。该方程需要满足边界条件： \[ \hat{n}\times\vec{E}=0 \quad\text{on}\ \Gamma_e \] \[ \hat{n}\times\nabla\times\vec{E}=0 \quad\text{on}\ \Gamma_m \] 这里，\(\Omega_v\)代表波导内部，\(\Gamma_e\)和\(\Gamma_m\)分别是电壁和磁壁。 解决这个边值问题的一种方法是找到以下变分泛函的驻点： \[ F(\vec{E})=\frac{1}{2}\int_{\Omega_v}\left[\frac{1}{\mu_r}(\nabla\times\vec{E})\cdot(\nabla\times\vec{E})-k_{o}^{2}\epsilon_r\vec{E}\cdot\vec{E}\right]dx \] 对于波导问题，可进行一些简化。假设波导足够长，选择z轴平行于其圆柱轴，那么电场的z依赖形式可以假设为\(e^{-\gamma z}\)，其中\(\gamma = \alpha + j\beta\)是复传播常数。将电场分解为横向分量\(\vec{E}_t=\hat{x}E_x+\hat{y}E_y\)和轴向分量\(\hat{z}E_z\)，得到电场的表达式为： \[ \vec{E}(x,y,z)=[\vec{E}_t(x,y)+\hat{z}E_z(x,y)]e^{-\gamma z} \] 将其代入变分泛函并进行矢量运算，得到修改后的泛函： \[ F(\vec{E})=\int_{\Omega}\left[\frac{1}{\mu_r}(\nabla_t\times\vec{E}_t)\cdot(\nabla_t\times\vec{E}_t)-k_{o}^{2}\epsilon_r\vec{E}_t\cdot\vec{E}_t+\frac{1}{\mu_r}(\nabla_tE_z+\gamma\vec{E}_t)\cdot(\nabla_tE_z+\gamma\vec{E}_t)-k_{o}^{2}\epsilon_rE_zE_z\right]dx \] 这里积分域从整个波导内部体积\(\Omega_v\)变为波导横截面\(\Omega\)。 使用二维旋度一致矢量基函数（如来自Nédélec第一类函数空间的基函数\(\vec{N}_i\)）对横向场进行离散化，使用节点标量基函数\(L_i\)对轴向分量进行离散化，得到离散化的场分量： \[ \vec{E}_{t,h}=\sum_{i = 1}^{N_N}(e_t)_i\vec{N}_i \] \[ E_{z,h}=\sum_{i = 1}^{N_L}(e_z)_iL_i \] 其中，\((e_t)_i\)和\((e_z)_i\)分别是第i个矢量和标量基函数的系数，\(N_N\)和\(N_L\)是离散化中使用的每种基函数的总数。 #### 3. 波导截止分析 波导截止分析是一种相对简单的情况，常用于测试新的有限元实现。当波导在截止状态下工作时，电场沿z轴是恒定的，即\(\gamma = 0\)。将\(\gamma = 0\)代入修改后的泛函，得到截止分析的泛函： \[ F_c(\vec{E})=\int_{\Omega}\left[\frac{1}{\mu_r}(\nabla_t\times\vec{E}_t)\cdot(\nabla_t\times\vec{E}_t)-k_{c}^{2}\epsilon_r\vec{E}_t\cdot\vec{E}_t+\frac{1}{\mu_r}(\nabla_tE_z)\cdot(\nabla_tE_z)-k_{c}^{2}\epsilon_rE_zE_z\right]dx \] 这里\(k_c\)是截止波数。 将离散化的场方程代入该泛函并进行最小化处理，得到矩阵方程： \[ \begin{pmatrix} S_{tt}&0\\ 0&S_{zz} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e_t\\ e_z \end{pmatrix}=k_{c}^{2} \begin{pmatrix} T_{tt}&0\\ 0&T_{zz} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e_t\\ e_z \end{pmatrix} \] 这是一个广义特征值问题，截止波数\(k_c\)是系统特征值的平方根。矩阵元素的定义如下： \[ (S_{tt})_{ij}=\int_{\Omega}\frac{1}{\mu_r}(\nabla_t\times\vec{N}_i)\cdot(\nabla_t\times\vec{N}_j)dx \] \[ (T_{tt})_{ij}=\int_{\Omega}\e