变分量子本征求解器（VQE）：从理论到实践

### 变分量子本征求解器（VQE）：理论与实践 #### 1. 可观测量的期望值 可观测量 𝐴 的期望值总是在该可观测量的特征向量处取得。假设 𝜆0 是 𝐴 的所有特征值中的最小值，对于任意状态 𝜓，有： \[ \langle A\rangle_{\psi}=\sum_{j,k}|\langle\lambda_{j}^{k}|\psi\rangle|^{2}\lambda_{j}\geq\sum_{j,k}|\langle\lambda_{j}^{k}|\psi\rangle|^{2}\lambda_{0}=\lambda_{0} \] 其中最后一个等式成立是因为所有结果的概率之和必须为 1，即 \(\sum_{j,k}|\langle\lambda_{j}^{k}|\psi\rangle|^{2}=1\)。 若取与 𝜆0 相关联的任意特征向量 \(|\lambda_{0}^{k}\rangle\)，其期望值为： \[ \langle\lambda_{0}^{k}|A|\lambda_{0}^{k}\rangle=\lambda_{0}\langle\lambda_{0}^{k}|\lambda_{0}^{k}\rangle=\lambda_{0} \] 这证明了最小期望值确实在 𝐴 的特征向量处取得。若有多个与 𝜆0 相关联的正交特征向量，它们的任何归一化线性组合也将是 𝐴 的基态。 #### 2. 估计可观测量的期望值 在 VQE 算法中，需要估计一般可观测量 𝐴 的期望值 \(\langle\psi|A|\psi\rangle\)。对于给定状态 \(|\psi\rangle\)，𝐴 的期望值可通过 \(\sum_{j,k}|\langle\lambda_{j}^{k}|\psi\rangle|^{2}\lambda_{j}\) 计算。但通常我们不知道 𝐴 的特征值 𝜆𝑗 和特征向量 \(\{|\lambda_{j}^{k}\rangle\}_{j,k}\)，且特征向量的数量随系统量子比特数呈指数增长，直接计算期望值可能计算量巨大。 因此，我们采用间接方法。可以将 𝑛 量子比特上的可观测量 𝐴 表示为泡利矩阵张量积的线性组合。例如，给定可观测量： \[ A = \frac{1}{2}Z\otimes I\otimes X - 3I\otimes Y\otimes Y + 2Z\otimes X\otimes Z \] 由于线性性质： \[ \begin{align*} \langle\psi|A|\psi\rangle&=\langle\psi|(\frac{1}{2}Z\otimes I\otimes X - 3I\otimes Y\otimes Y + 2Z\otimes X\otimes Z)|\psi\rangle\\ &=\frac{1}{2}\langle\psi|(Z\otimes I\otimes X)|\psi\rangle - 3\langle\psi|(I\otimes Y\otimes Y)|\psi\rangle + 2\langle\psi|(Z\otimes X\otimes Z)|\psi\rangle \end{align*} \] 为计算 𝐴 的期望值，可分别计算 \(Z\otimes I\otimes X\)、\(I\otimes Y\otimes Y\) 和 \(Z\otimes X\otimes Z\) 的期望值并组合结果。 虽然我们可能事先不知道 𝐴 的特征值和特征向量，但可以很容易地获得泡利矩阵张量积的特征值和特征向量。以下是相关练习及结论： - **练习 7.2**：若 \(|\lambda_{j}\rangle\) 是 𝐴𝑗 的特征向量，特征值为 𝜆𝑗（𝑗 = 1, … , 𝑛），则 \(|\lambda_{1}\rangle\otimes\cdots\otimes|\lambda_{n}\rangle\) 是 \(A_{1}\otimes\cdots\otimes A_{n}\) 的特征向量，特征值为 \(\lambda_{1}\cdots\lambda_{n}\)。 - **练习 7.3**： - \(Z\) 的特征向量为 \(|0\rangle\)（特征值为 1）和 \(|1\rangle\)（特征值为 -1）。 - \(X\) 的特征向量为 \(|+\rangle\)（特征值为 1）和 \(|-\rangle\)（特征值为 -1）。 - \(Y\) 的特征向量为 \(\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + i|1\rangle)\)（特征值为 1）和 \(\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - i|1\rangle)\)（特征值为 -1）。 - 任何非零状态都是 \(I\) 的特征向量，特征值为 1。 通过这些结果，可推出 \(Z\otimes X\otimes Z\) 的特征向量和特征值。例如，\(|0\rangle|+\rangle|0\rangle\)、\(|0\rangle|-\rangle|1\rangle\)、\(|1\rangle|+\rangle|1\rangle\) 和 \(|1\rangle|-\rangle|0\rangle\) 是特征值为 1 的特征向量；\(|0\rangle|+\rangle|1\rangle\)、\(|0\rangle|-\rangle|0\rangle\)、\(|1\rangle|+\rangle|0\rangle\) 和 \(|1\rangle|-\rangle|1\rangle\) 是特征值为 -1 的特征向量。 已知泡利矩阵张量积的特征值和特征向量后，如何估计其期望值呢？对于厄米矩阵 𝐴，\(\langle\psi|A|\psi\rangle\) 可通过 \(\sum_{j,k}|\langle\lambda_{j}^{k}|\psi\rangle|^{2}\lambda_{j}\) 计算，在我们的例子中只有两个特征值 1 和 -1。若能估计 \(|\langle\lambda_{j}^{k}|\psi\rangle|^{2}\) 的值，就能计算期望值。 以 \(Z\otimes X\otimes Z\) 为例，考虑其特征向量 \(|0\rangle|+\rangle|0\rangle\)，要计算 \(|(\langle0|\langle + |\langle0|)|\psi\rangle|^{2}\)，可注意到 \(|0\rangle|+\rangle|0\rangle=(I\otimes H\otimes I)|0\rangle|0\rangle|0\rangle\)，则： \[ |(\langle0|\langle + |\langle0|)|\psi\rangle|^{2}=|\langle0|\langle0|\langle0|(I\otimes H\otimes I)^{\dagger}|\psi\rangle|^{2} \] 而 \(|(\langle0|\langle0|\langle0|