双轨编码在无序和耦合链中的量子态传输

### 双轨编码在无序和耦合链中的量子态传输 在量子态传输领域，双轨编码是实现完美传输的一种重要方案。传统上，双轨编码要求设计两条相同且无相互作用的量子链。然而，在实际实验中，通道可能存在轻微不对称，或者两条链之间存在小的相互作用，这就需要研究在这些情况下双轨编码是否仍能实现任意完美的量子态传输。 #### 1. 无序情况下的传输 当自旋链的哈密顿量 $H^{(1)}$ 和 $H^{(2)}$ 不同时，我们需要重新考虑量子态的传输。假设两条链长度相同（后续会说明这个条件并非必要），Alice 将消息编码为叠加态。经过时间 $t$ 后，演化后的状态可以表示为： \[ \sum_{n = 1}^{N} [\alpha g_{n,1}(t) |0, n\rangle + \beta f_{n,1}(t) |n, 0\rangle ] \] 其中， \[ f_{n,1}(t) \equiv \langle n| \exp[-iH^{(1)}t] |1\rangle_1 \] \[ g_{n,1}(t) \equiv \langle n| \exp[-iH^{(2)}t] |1\rangle_2 \] 在传统情况中，$f_{n,1}(t)$ 和 $g_{n,1}(t)$ 是相同的，但在不同链的情况下，我们可以找到一个特殊时间 $t_1$，使得 $n = N$ 时（即链的最后一个自旋），$f_{N,1}(t_1)$ 和 $g_{N,1}(t_1)$ 的模相同，即： \[ g_{N,1}(t_1) = e^{i\varphi_1} f_{N,1}(t_1) \] 此时，状态可以写成： \[ \sum_{n = 1}^{N - 1} \{\alpha g_{n,1}(t_1) |0, n\rangle + \beta f_{n,1}(t_1) |n, 0\rangle \} + f_{N,1}(t_1) \{e^{i\varphi_1} \alpha |0, N\rangle + \beta |N, 0\rangle \} \] Bob 可以通过在他的两个量子比特上应用 CNOT 门（以第一个量子比特为控制位）来解码状态。之后，状态变为： \[ \sum_{n = 1}^{N - 1} \{\alpha g_{n,1}(t_1) |0, n\rangle + \beta f_{n,1}(t_1) |n, 0\rangle \} + f_{N,1}(t_1) \{e^{i\varphi_1} \alpha |0\rangle^{(1)} + \beta |N\rangle^{(1)}\} \otimes |N\rangle^{(2)} \] Bob 测量他的第二个量子比特，根据测量结果，系统将处于以下两种状态之一： - 未成功接收状态： \[ \frac{1}{\sqrt{p_1}} \sum_{n = 1}^{N - 1} \{\alpha g_{n,1}(t_1) |0, n\rangle + \beta f_{n,1}(t_1) |n, 0\rangle \} \] - 成功接收状态： \[ \{e^{i\varphi_1} \alpha |0\rangle^{(1)} + \beta |N\rangle^{(1)}\} \otimes |N\rangle^{(2)} \] 其中，$p_1 = 1 - |f_{N,1}(t_1)|^2 = 1 - |g_{N,1}(t_1)|^2$ 是 Bob 未接收到状态的概率。成功接收状态存在一个已知的相位误差，可以通过简单的相位门进行纠正。 如果第一次测量未成功，系统将继续演化，为 Bob 提供更多接收消息的机会。为了判断一个系统是否能够实现任意完美的状态传输，我们引入联合概率 $P(\ell)$，即经过 $\ell$ 次检查后，Bob 仍未在链的末端接收到正确状态的概率。 为了计算第 $\ell$ 次测量的失败概率，我们需要考虑 Bob 的测量会干扰链的幺正动力学。如果测量前的状态为 $|\psi\rangle$，测量结果为“失败”，则测量后的状态为： \[ \frac{1}{\sqrt{p_{\ell}}} Q |\psi\rangle \] 其中，$Q$ 是投影算符： \[ Q = I - |0, N\rangle \langle 0, N| - |N, 0\rangle \langle N, 0| \] $p_{\ell}$ 是第 $\ell$ 次测量的失败概率。 链的动力学在幺正和投影之间交替，第 $\ell$ 次测量前的状态可以表示为： \[ \frac{1}{\sqrt{P(\ell - 1)}} \prod_{k = 1}^{\ell} \{U(t_k)Q\} \{\alpha |1, 0\rangle + \beta |0, 1\rangle \} \] 其中， \[ P(\ell - 1) = \prod_{k = 1}^{\ell - 1} p_k \] 在链的第 $N$ 个位置有激发的概率为： \[ \frac{1}{P(\ell - 1)} \{|\alpha|^2 |F(\ell)|^2 + |\beta|^2 |G(\ell)|^2 \} \] 其中， \[ F(\ell) \equiv \langle N, 0| \prod_{k = 1}^{\ell} \{U(t_k)Q\} |1, 0\rangle \] \[ G(\ell) \equiv \langle 0, N| \prod_{k = 1}^{\ell} \{U(t_k)Q\} |0, 1\rangle \] Bob 的测量对 $\alpha$ 和 $\beta$ 无偏的充要条件是： \[ |F(\ell)| = |G(\ell)| \quad \forall \ell \] 在这种情况下，状态仍然可以确定性地传输（最多有一个已知相位），第 $\ell$ 次测量的失败概率为： \[ p_{\ell} = 1 - \frac{|F(\ell)|^2}{P(\ell - 1)} \] 条件 $|F(\ell)| = |G(\ell)|$ 等价于： \[ \left| \prod_{k = 1}^{\ell} \{U(t_k)Q\} |1, 0\rangle \right| = \left| \prod_{k = 1}^{\ell} \{U(t_k)Q\} |0, 1\rangle \right| \quad \forall \ell \] 联合失败概率为： \[ P(\ell) = \left| \prod_{k = 1}^{\ell + 1} \{U(t_k)Q\} |1, 0\rangle \right|^2 \] 虽然看起来这个条件是一个复杂的多时间条件，但实际上，如果前 $\