变分不等式的有限元解及应用

# 变分不等式的有限元解及应用 ## 1. 准静态接触问题的数值示例 ### 1.1 有限元逼近过程 为了展示自适应过程的有效性，我们会比较近似解的数值收敛阶。通过考虑均匀和局部细化三角剖分族来计算这些收敛阶。 对于基于均匀三角剖分的有限元解序列 $\{u_{h_k}^n, u^n\}_{n = 0}^N$，我们从初始的粗三角剖分 $P_1$ 开始，将每个三角形细分为四个三角形，构建嵌套网格族。把最细化网格的解作为“真实”解 $\{u_k^n\}_{n = 0}^N$，用于计算其他网格上近似解的误差。 ### 1.2 自适应算法 有限元解 $\{u_{h_k}^{n, ad}\}_{n = 0}^N$ 通过以下自适应算法获得： 1. 从初始三角剖分 $P_h$ 和相应的有限元子空间 $V^h$ 开始。 2. 计算有限元解 $\{u_{h_k}^{n, ad}\}_{n = 1}^N$，其中 $u_{h_k}^{n, ad} \in V^h$，$0 \leq n \leq N$。 3. 在时间步 $t_N$，对于每个元素 $K \in P_h$，计算残差类型（$I = R$）或梯度恢复类型（$I = G$）的误差估计器 $\eta_{K, I}$。 4. 令 $\eta = (\sum_{K \in P_h} \eta_{K, I}) / N_e$，其中 $N_e$ 是元素总数。如果 $\eta_K > \mu \eta$（$\mu$ 是规定的阈值，这里 $\mu = 1$），则标记元素 $K$ 进行细化。 5. 进行细化并获得新的三角剖分 $P_h$。 6. 返回步骤 2。 ### 1.3 具体问题设置 考虑一个物理场景，区域 $\Omega = (0, 2)×(0, 10)$ 是三维线性弹性体的横截面，假设为平面应力条件。在部分 $\Gamma_D = (0, 10)×\{2\}$ 处，物体被夹紧；在部分 $\{0\} × (0, 2)$ 和 $\{10\} × (0, 2)$ 上作用有斜向牵引力，所以 $\Gamma_N = (\{0\} × (0, 2)) ∪ (\{10\} × (0, 2))$；边界的接触部分是 $\Gamma_C = (0, 10) × \{0\}$。 弹性张量 $C$ 满足： \[ (C\varepsilon)_{ij} = \frac{E\nu}{1 - \nu^2} (\varepsilon_{11} + \varepsilon_{22})\delta_{ij} + \frac{E}{1 + \nu} \varepsilon_{ij}, \quad 1 \leq i, j \leq 2 \] 其中 $E$ 是杨氏模量，$\nu$ 是材料的泊松比，$\delta_{ij}$ 是克罗内克符号。使用以下数据： - $E = 1000 \text{ daN/mm}^2$ - $\nu = 0.3$ - $f^1 = (0, 0) \text{