复杂网络中的多稳定性研究

# 复杂网络中的多稳定性研究 ## 1. 多稳定系统的同步状态分析 在复杂网络的研究中，多稳定系统的同步状态是一个重要的研究方向。对于多稳定系统，我们可以根据不确定性参数 \(νσλ\) 区分出三种可能的同步状态： - **状态（i）**：S 和 L 都处于异步状态，S 和 L 的最大横截 Lyapunov 指数（MSF）均为正。 - **状态（ii）**：S 实现同步，但 L 未同步，S 的 MSF 为负，而 L 的 MSF 为正。只有这种情况能保证在 SS 体制下的同步稳定性。 - **状态（iii）**：S 和 L 都实现同步，两者的 MSF 均为负。这意味着无论动力学多么复杂，即使存在间歇性，同步也是稳定的。如果给定拓扑结构的每个本征模与耦合强度 \(σ\) 的乘积处于状态（iii）所描述的区域内，同步就是稳定的。 这种分析方法对于多状态间歇性中的同步稳定性分析尤为重要，因为任何单稳定的同步方法在这种模式下都注定会失败。了解维持任何可能吸引子中完全同步所需的耦合强度和网络拓扑结构，就可以有效地控制网络动力学。 ## 2. 不同网络中多稳定性的表现 ### 2.1 仓本振子网络 仓本振子网络是耦合相位振子的简单示例，振子通过相位差的正弦函数进行耦合。在原始的仓本模型中，每个振子 \(i\) 由一个 \(D\) 维的单位向量 \(σ_i\) 表示，其轨迹在 \((D - 1)\) 维单位球的超曲面上徘徊。以 \(D = 2\) 为例，每个振子 \(i\) 可以用其相位 \(θ_i\) 描述，即 \(σ_i = (\cos θ_i, \sin θ_i)\) 。 Frolov 和 Hramov 提出的模型考虑了 \(N\) 个个体单元与资源池 \(λ_i\) 通过扩散连接的时变兴奋性。该模型由以下方程给出： \(\dot{θ_i} = ω_i + λ_i \sum_{j = 1}^{N} A_{ij} \sin(θ_j - θ_i)\) \(\dot{λ_i} = α(λ_i - λ_0) - βr_i\) 其中，\(θ_i\) 和 \(\dot{θ_i}\) 分别是第 \(i\) 个振子的相位和角速度，\(ω_i\) 是其自然频率，\(λ_i\) 是耦合强度，\(α\) 和 \(β\) 分别是兴奋性恢复率和资源约束率，\(λ_0\) 是无资源约束时的未受干扰的兴奋性水平，\(r_i\) 是序参数，\(A\) 是邻接矩阵。 局部同步性通过局部序参数 \(r_i\) 估计： \(r_i = \frac{1}{k_i} \left| \sum_{j = 1}^{N} A_{ij} e^{iθ_j} \right|\) 其中，\(k_i = \sum_{j = 1}^{N} A_{ij}\) 定义了第 \(i\) 个节点的度。 全局相干性通过全局序参数 \(R\) 量化： \(R = \frac{1}{N} \left| \sum_{j = 1}^{N} e^{iθ_j} \right|\) 其中，\(0 ≤ R ≤ 1\) 。当 \(R = 0\) 时，所有振子完全异步；当 \(R = 1\) 时，所有振子具有相同的相位。 研究发现，分层无标度图表现出双稳性，而小世界网络则没有。通过增加和减少无资源约束时的未受干扰的兴奋性水平 \(λ_0\) ，揭示了仓本振子无标度网络中的高阶和低阶状态的共存。资源约束会导致双态间歇性，系统在全局相干和不相干状态之间切换。这种间歇性类似于多稳定光纤激光器中观察到的极端事件，对理解真实网络（如导致癫痫的神经集合的异常同步）的复杂动力学具有重要意义。 ### 2.2 网络的潜在景观 网络系统中共存状态的动态结构可以用基于 \(M\) 个状态的倒置高斯函数导出的潜在景观 \(L(z)\) 来表征： \(\dot{L}(z) = \sum_{n = 1}^{M} \frac{z - μ_{G_n}}{(σ_{G_n})^2} a_{G_n} \sqrt{\frac{1}{2π(σ_{G_n})^2}} \exp \left( -\frac{(z - μ_{G_n})^2}{2(σ_{G_n})^2} \right)\) 其中，\(a_{G_n}\) 、\(μ_{G_n}\) 和 \(σ_{G_n}\) 分别是第 \(n\) 个高斯函数的振幅、均值和标准差。 状态变量 \(z(t)\) 由运动方程调节： \(\dot{z}(t) = \dot{L}(z)|_{z(t)} + ζ(t)x(t)\) 其中，\(ζ(t) = (0.6 - 0.01z(t))\) 是缩放因子，\(x(t)\) 是系统变量 \(x\) 的平均场。 基于倒置高斯函数的潜在景观方法的优点是易于添加额外的势阱，同时保留势阱的顺序。然而，该方法的一个缺点是势阱之间的势垒是平滑的，这可能导致从势阱中逃逸过快，过渡时间过短。可以通过添加势垒碎片化（如使用经典的康托分形构造过程）来克服这一缺点。 Fischer 等人通过一个由 \(N_n\) 个扩散耦合的 FitzHugh - Nagumo（FHN）振子网络组成的网络，证明了潜在景观在分析共存状态之间切换动力学的适用性。第 \(k\) 个子网络中第 \(i\) 个振子的运动方程为： \(\dot{x}_{i}^{(k)} = x_{i}^{(k)} (a_i - x_{i}^{(k)}) (x_{i}^{(k)} - 1) - y_{i}^{(k)} + C_{w}^{(k)} \frac{1}{N_o - 1} \sum_{j = 1}^{N_o} A_{ij} (x_{j}^{(k)} - x_{i}^{(k)}) + C_b \frac{1}{N} \sum_{l = 1}^{N_n} B_{kl} \sum_{j = 1}^{N_o} (x_{j}^{(l)} - x_{i}^{(k)})\) \(\dot{y}_{i}^{(k)} = b_i x_{i}^{(k)} - c_i y_{i}^{(k)}\) 其中，\(x\) 和 \(y\) 分别是快速（兴奋）和慢速（抑制）状态变量，\(a\) 、\(b\) 和 \(c\