离散共形映射：从三角形函数到多连通域映射

### 离散共形映射：从三角形函数到多连通域映射 #### 1. 三角形函数相关内容 在研究离散共形映射时，三角形函数是重要的基础。这里涉及三个实值函数 \(f_{euc}\)、\(f_{hyp}\)、\(f_{sph}\)，它们是变分原理中作用函数 \(E_{euc}\)、\(E_{hyp}\)、\(E_{sph}\) 的主要组成部分。 - **可行区域定义**： - \(f_{euc}\) 和 \(f_{hyp}\) 的可行区域是所有 \(\lambda \in R^3\) 的一个开子集，使得由 (22) 确定的 \(\ell \in R^3_{>0}\) 满足三角形不等式 \(\ell_k < \ell_i + \ell_j\)，其中 \(\{i, j, k\} = \{1, 2, 3\}\)。 - \(f_{sph}\) 的可行区域是所有 \(\lambda \in R^3\) 且 \(\lambda < 0\) 的一个开子集，同时由 (22) 确定的 \(\ell \in R^3_{>0}\) 满足三角形不等式 \(\ell_k < \ell_i + \ell_j\) 以及 \(\ell_1 + \ell_2 + \ell_3 < 2\pi\)。 - **函数定义**： 定义三个函数 \(f_{euc}, f_{hyp}, f_{sph} : R^3 \to R\) 为： \(f_g(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) = \beta_1\lambda_1 + \beta_2\lambda_2 + \beta_3\lambda_3 + L(\alpha_1) + L(\alpha_2) + L(\alpha_3) + L(\beta_1) + L(\beta_2) + L(\beta_3) + L(\frac{1}{2}(\pi - \alpha_1 - \alpha_2 - \alpha_3))\)，其中 \(g \in \{euc, hyp, sph\}\)，\(L(x)\) 是 Milnor 的 Lobachevsky 函数，\(L(x) = -\int_{0}^{x} \log|2 \sin(t)| dt\)。 - 若 \(\lambda\) 在 \(f_g\) 的可行区域内，\(\alpha\) 和 \(\beta\) 是由 (22) 确定边长为 \(\ell_1, \ell_2, \ell_3\) 的欧几里得、双曲或球面三角形（取决于 \(g\)）中的角度，由 (21) 和 (20) 定义。 - 若 \(g = sph\)，且至少两个 \(\lambda\) 非负或 \(\lambda < 0\) 但不等式 \(\ell_1 + \ell_2 + \ell_3 < 2\pi\) 不成立，则 \(\alpha_k = \alpha_i = \alpha_j = \pi\)，\(\beta_k = \beta_i = \beta_j = 0\)。 - 若三角形不等式不成立，或 \(g = sph\) 且 \(\lambda_k \geq 0\)，则 \(\alpha_k = \beta_k = \pi\)，\(\alpha_i = \alpha_j = \beta_i = \beta_j = 0\)。 - **函数性质**： - **一阶导数**：函数 \(f_g\)（\(g \in \{euc, hyp, sph\}\)）是连续可微的，且 \(\frac{\partial f_g}{\partial \lambda_i} = \beta_i\)。证明过程分为两部分，当 \(\lambda\) 在可行区域内时，通过对 \(f_g\) 求导并结合三角形的余弦定理进行化简；当 \(\lambda\) 在可行区域补集的内部时，由于 \(\beta_1, \beta_2, \beta_3\) 为常数，也可得到该结果。 - **二阶导数**：对于 \(g \in \{euc, hyp, sph\}\)，函数 \(f_g\) 在其可行集上是二次连续可微的，二阶导数分别为： - \(D^2 f_{euc} = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{3} \cot \alpha_i (d\lambda_j - d\lambda_k)^2\) - \(D^2 f_{hyp} = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{3} \cot \beta_i ((d\lambda_j - d\lambda_k)^2 + \tanh^2(\frac{\ell_i}{2}) d\lambda_i^2)\) - \(D^2 f_{sph} = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{3} \cot \beta_i ((d\lambda_j - d\lambda_k)^2 - \tan^2(\frac{\ell_i}{2}) d\lambda_i^2)\) 在可行集补集的每个分量上，函数 \(f_g\) 是线性的，二阶导数为零。 - **凸性**： - \(f_{euc}\) 是凸函数，在其可行集上，二阶导数 \(D^2 f_{euc}\) 是半正定的，其一维核由“缩放方向” \((1, 1, 1)\) 张成。 - \(f_{hyp}\) 是凸函数，在其可行集上，二阶导数 \(D^2 f_{hyp}\) 是正定的，函数是局部严格凸的。 以下是相关内容的流程图： ```mermaid graph TD; A[定义可行区域] --> B[定义函数 f_g]; B --> C[求一阶导数]; C --> D[求二阶导数]; D --> E[判断凸性]; ``` #### 2. 循环四边形剖分的共形映射 在引入映射问题和变分原理后，我们来研究循环四边形剖分的共形映射。 - **新兴圆模式和必要条件**： - 考虑将正方形和矩形分别细分为 \(6×6\) 和 \(6×5\) 个小正方形的离散共形映射。通过最小化 \(E_{euc}\) 并规定边界角度，将其映射到平行四边形。 - 在 \(6×6\) 的例子中，出现了正交圆模式。将顶点双色化，相邻顶点颜色不同，角顶点为白色。在映射后的四边形剖分中，黑色顶点处的边相互垂直，白色顶点处的边长度相等，可以围绕每个白色顶点通过相邻黑色顶点画圆，这些圆在黑色顶点处正交相交。这种圆模式与正方形组成的四边形剖分是离散共形等价的。 - 而在 \(6×5\) 的例子中，不存在对应的正交圆模式。如果将一个 \(m×n\) 的正方形网格映射到平行四边形，当 \(m\) 和 \(n\) 都是偶数时会出现正交圆模式；当一个是偶数一个是奇数时不会出现；当 \(m\) 和 \(n\) 都是奇数时，共形映射不存在。 - **必要条件定理**：设 \(\mathcal{Q}\) 是一个闭圆盘的抽象四边形剖分，\(z, \tilde{z} : V_{\mathcal{Q}} \to C\) 确定了 \(\mathcal{Q}\) 到复平面的两个离散共形等价浸入。设 \(V_{\partial b}\) 和 \(V_{\partial w}\) 分别表示 \(\mathcal{Q}\) 的黑色和白色边界顶点集，则 \(\sum_{v \in V_{\partial b}} (\tilde{\Theta}_v - \Theta_v) \equiv 0 \pmod{2\pi}\)，\(\sum_{v \in V_{\partial w}} (\tilde{\Theta}_v - \Theta_v) \equiv 0 \pmod{2\pi}\)。 - **循环四边形的黎曼映射**： - 考虑将拓扑上为闭圆盘的循环多面体表面离散共形地映射到边界顶点在圆上的平面多边形区域。 - **操作步骤**： 1. 选择边界上一个所有相邻面都是四边形的顶点 \(k\)。 2. 应用离散共形度量变换，使与 \(k\) 相邻的所有边长度相等，可令除 \(k\) 的邻居外的所有顶点 \(u = 0\)。 3. 移除顶点 \(k\) 及其所有相邻四边形，得到循环多面体复形 \((\mathcal{Q}', \ell')_{euc}\)。 4. 对于 \((\mathcal{Q}', \ell')_{euc}\) 求解问题 3.2，规定内部顶点的总角度 \(\Theta_i = 2\pi\)，非 \(k\) 邻居的边界顶点 \(\Theta_i = \pi\)，\(k\) 的邻居的对数尺度因子 \(u_i = 0\)。 5. 对顶点应用 Möbius 变换，将 \(\mathcal{Q}\) 的边界顶点映射到一个圆上，其他顶点映射到圆内，再将 \(k\) 重新插入 Möbius 变换下无穷远点的像点处。 6. 可选地应用二维的 Möbius 归一化。 以下是循环四边形黎曼映射步骤的表格： |步骤|操作| |----|----| |1|选择边界顶点 \(k\)| |2|应用度量变换| |3|移除顶点 \(k\) 及相邻四边形| |4|求解问题 3.2| |5|应用 Möbius 变换| |6|可选：应用 Möbius 归一化| #### 3. 多连通域的共形映射 多连通域的共形映射是一个重要的研究方向，主要涉及圆域和特殊狭缝域的映射。 - **圆域映射**： - Koebe 对黎曼映射定理的推广表明，多连通域与由圆界定的域是共形等价的，且到这种圆域的均匀化映射在 Möbius 变换下是唯一的。 - **操作步骤**： 1. 通过将面粘贴到除一个边界分量外的所有边界分量上，填充孔洞，使所得表面与圆盘同胚。 2. 构造离散黎曼映射。 3. 移除在步骤 1 中添加的面。 以下是圆域映射步骤的流程图： ```mermaid graph TD; A[填充孔洞] --> B[构造离散黎曼映射]; B --> C[移除添加的面]; ``` - **特殊狭缝域映射**： - 任何多连通域都可以映射到带有平行狭缝的复平面。原则上，可以通过解决问题 3.1 来构造将孔洞映射到狭缝的离散共形映射。在应映射到狭缝的每个边界分量上，将应映射到狭缝端点的两个顶点的所需总角度 \(\Theta = 2\pi\)，该边界分量上的其他所有顶点的 \(\Theta = \pi\)。 - 然而，这种方法通常并不总是有效。虽然所得表面是平坦的，但到平面的展开映射通常对于围绕孔洞的循环具有平移单值性。只有当应映射到狭缝端点的顶点选择得恰到好处时，表面才能在平面中闭合（这通常需要修改原始网格）。 - 在某些情况下，问题的对称性可以确定端点顶点的正确位置，从而可以计算到狭缝表面的离散共形映射。例如，将带有三角形孔洞的圆柱体映射到带有狭缝的圆柱体，将箭头形狭缝映射到直狭缝，以及将三个圆形边界分量映射到水平狭缝等。 以下是特殊狭缝域映射的相关情况表格： |情况|操作|结果| |----|----|----| |一般情况|按角度设置求解问题 3.1|表面平坦，但展开映射有平移单值性，不一定能闭合| |对称情况|利用对称性确定端点顶点位置求解|可计算离散共形映射| 综上所述，离散共形映射在不同类型的区域（如三角形、循环四边形、多连通域等）中都有重要的应用和独特的性质。从三角形函数的定义和性质出发，为后续的映射问题提供了基础。循环四边形剖分的共形映射中出现的正交圆模式和相关必要条件，以及黎曼映射的具体操作步骤，展示了离散共形映射在这一领域的应用。而多连通域的圆域和特殊狭缝域映射，进一步拓展了离散共形映射的应用范围，虽然在特殊狭缝域映射中存在一些挑战，但通过合理的方法和利用问题的对称性，仍能取得有效的结果。这些研究成果为离散共形映射在更广泛领域的应用提供了理论和实践基础。