离散傅里叶变换（DFT）的原理与特性

# 离散傅里叶变换（DFT）的原理与特性 离散傅里叶变换（DFT）在信号处理领域有着至关重要的地位，它能够将时域信号转换为频域信号，帮助我们更好地理解信号的频率特性。下面将详细介绍DFT的相关知识。 ## 1. DFT的基本概念与计算 ### 1.1 DFT的矩阵表示 DFT可以用矩阵 - 向量乘积的形式表示： \[ \begin{bmatrix} X[0] \\ X[1] \\ X[2] \\ \vdots \\ X[N - 1] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & e^{-j2\pi/N} & e^{-j4\pi/N} & \cdots & e^{-j2(N - 1)\pi/N} \\ 1 & e^{-j4\pi/N} & e^{-j8\pi/N} & \cdots & e^{-j4(N - 1)\pi/N} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & e^{-j2(N - 1)\pi/N} & e^{-j4(N - 1)\pi/N} & \cdots & e^{-j2(N - 1)(N - 1)\pi/N} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x[0] \\ x[1] \\ x[2] \\ \vdots \\ x[N - 1] \end{bmatrix} \] ### 1.2 MATLAB中DFT的计算 在MATLAB中，可以使用`dftmtx(N)`函数获取$N×N$的DFT矩阵，然后通过矩阵 - 向量乘积计算DFT：`X = dftmtx(N)*x`，其中`x`是信号样本向量，`X`是DFT系数向量。不过，使用`X = fft(x, N)`语句计算向量的DFT效率更高。 ### 1.3 IDFT的矩阵表示与验证 IDFT同样可以表示为矩阵 - 向量乘积。可以写出$N×N$ IDFT矩阵的典型元素，然后使用MATLAB创建一个$6×6$的IDFT矩阵。通过在MATLAB中用IDFT矩阵乘以DFT矩阵来验证结果，预期结果应为单位矩阵。这是因为DFT和IDFT是互逆的变换，它们的矩阵乘积应该是单位矩阵，保证信号能够从频域准确还原到时域。 ## 2. DFT的特性 ### 2.1 DFT系数的周期性 DFT系数$X[k]$具有周期性，周期为$N$，即$X[k] = X[k + N]$，$-\infty < k < \infty$。这是因为DFT是对离散时间傅里叶变换（DTFT）的频率采样，而DTFT具有$2\pi$的周期性。当需要$X[k]$在区间$0\leq k < N$之外的值时，可以利用其周期性进行扩展，无需额外的计算成本。例如，$X[N] = X[0]$，$X[N + 1] = X[1]$等。 ### 2.2 负频率与DFT DFT和IDFT公式使用非负索引，这在计算和数学表达上很方便，但IDFT合成公式似乎只有正频率。然而，在绘制离散时间信号的频谱图时，我们期望看到正、负频率线以及实信号的共轭对称性。因此，需要重新解释DFT索引以获得共轭对称的频谱图。 信号的归一化频率$\hat{\omega}_k = (2\pi/N)k$在$0\leq\hat{\omega} < 2\pi$范围内有$N$个等间隔的值，可以分为两个子集： - $0\leq(2\pi/N)k < \pi$，对应$0\leq k < N/2$； - $\pi\leq(2\pi/N)k < 2\pi$，对应$N/2\leq k\leq N - 1$。 由于DTFT的周期性，第二个子集中的频率实际上是频谱中负频率的混叠。当$N$为偶数时，第二个子集中的索引$\{N/2, N/2 + 1, N/2 + 2, \cdots, N - 2, N - 1\}$是$\{-N/2, -N/2 + 1, -N/2 + 2, \cdots, -2, -1\}$的混叠。 ### 2.3 DFT的共轭对称性 当信号$x[n]$为实信号时，DTFT具有共轭对称性，因此DFT系数也满足$X[-k] = X^*[k]$。结合$X[k]$的周期性，可以得到$X[N - k] = X^*[k]$，$k = 0, 1, \cdots, N - 1$。例如，在一个4点DFT中，频率索引对应的频率为$\hat{\omega}_k = \{0, \pi/2, \pi, 3\pi/2\}$，其中$\hat{\omega}_3 = 3\pi/2$是$\hat{\omega} = -\pi/2$的混叠，DFT系数满足共轭对称特性，如$X[1] = X^*[4 - 1] = X^*[3]$。 ### 2.4 $X[N/2]$的模糊性 当DFT长度$N$为偶数时，$k = N/2$对应的归一化频率为$\hat{\omega} = \pi$，由于频谱的周期性，$\hat{\omega} = \pm\pi$处的频谱值相同。在绘制频谱图时，需要决定将$X[N/2]$放在正频率侧还是负频率侧。MATLAB的`fftshift`函数将$X[N/2]$放在开头，使其对应$\hat{\omega} = -\pi$。可以证明，当向量$x[n]$为实信号且DFT长度$N$为偶数时，DFT系数$X[N/2]$必须为实值。 ### 2.5 频域采样与插值 为了绘制平滑的DTFT频谱图，需要非常精细的频率采样。DFT默认变换长度与信号长度$L$相同，$L$点DFT计算$\hat{\omega} = (2\pi/L)k$处的DTFT样本。如果需要更精细的频率采样间隔$(2\pi/N)$（$N > L$），可以使用零填充的方法。定义长度为$N$的信号$h_{zp}[n]$为： \[ h_{zp}[n] = \begin{cases} h[n] & n = 0, 1, \cdots, L - 1 \\ 0 & n = L, L + 1, \cdots, N - 1 \end{cases} \] 对$h_{zp}[n]$进行$N$点DFT，得到的结果是在$\hat{\omega}_k = 2\pi k/N$处的频率响应样本。在特殊情况下，当$N = 2L$时，偶数索引的样本与$L$点DFT的值相同，奇数索引的频率对应于在$L$点DFT样本之间评估频率响应，即$2L$点DFT对$L$点DFT进行插值。通过增加零填充的数量，可以生成更密集的频率网格，用于在绘图前评估频率响应。在$N \to \infty$的