数据聚类、最近邻搜索与噪声检测方法解析

### 数据聚类、最近邻搜索与噪声检测方法解析 #### 1. 随机投影在模式识别中的应用 在处理大规模数据时，数据的高维度和大量数据量会给分类带来挑战。随机投影作为一种降维方法，为解决这一问题提供了有效途径。 ##### 1.1 随机投影概述 随机投影是将原始高维观测数据通过一个合适缩放的随机矩阵投影到低维空间，该矩阵的元素通常是独立同分布的随机变量样本。这种方法在计算效率和准确性上表现出色，许多实验都证明了其有效性。 在模式识别中，基于最近邻搜索的算法应用广泛。但在高维空间中，最近邻搜索的计算复杂度高，且可能受到“维度灾难”的影响。因此，人们开始关注通过近似最近邻搜索和聚类方法来避免这一问题。 ##### 1.2 Johnson - Lindenstrauss引理 该引理表明，一个d维的点集C可以嵌入到一个k维空间中，其中k与C的基数对数相关且与d无关，并且点之间的距离可以在(1±ε)的因子内保持。具体公式为：对于所有x, y ∈C，有(1 - ε)||x - y||² ≤ ||F(x) - F(y)||² ≤ (1 + ε)||x - y||² 。 通过随机投影，我们可以利用低维空间中的欧几里得距离来估计原始高维空间中的距离。设u为原始数据点，投影后的数据点v = S.u，其中S是d×k的随机矩阵。我们可以通过样本平方距离来估计高维空间中的距离： $\hat{D}^2 = \frac{1}{k} \sum_{j=1}^{k} (v_{mj} - v_{lj})^2 = ||v_m - v_l||^2$ 并且，$E\{\hat{D}^2\} = D^2$ ，其方差随着k的增大趋近于零，即$var(\hat{D}^2) = \frac{2}{k}D^4$ 。利用卡方尾部Chernoff边界，我们可以得到相对误差超过ε时的概率边界： $Pr\left\{\frac{|\hat{D}^2 - D^2|}{D^2} \geq \epsilon\right\} \leq 2 \exp\left(-\frac{k}{4}\epsilon^2 + \frac{k}{6}\epsilon^3\right)$ ##### 1.3 实验结果 在实验中，使用了不同的数据集进行测试。 - **两个高斯分布数据集**：有三个数据集，分别是均值为(0, 0, …, 0)和(m, m, …, m)，协方差矩阵为I的两个等概率类。原始数据维度d = 10000，m分别取0.5、0.25和0.05。比较了M - NN方法和可能的M - NN（PM - NN）方法在不同k值（1000、300和100）下的准确率，结果如下表所示： | Example | M | k | M - NN | P M - NN | | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | | Example A | 1 | 1000 | 1.00 | 1.0 - 0.99 | | Example A | 1 | 300 | 1.0 | 1.0 - 0.96 | | Example A | 1 | 100 | 1.0 | 0.95 - 0.80 | | Example A | 10 | 1000 | 1.0 | 1.0 - 0.99 | | Example A | 10 | 300 | 1.0 | 1.0 - 0.99 | | Example A | 10 | 100 | 1.0 | 1.0 - 0.94 | | Example B | 1 | 1000 | 1.00 | 0.94 - 0.74 | | Example B | 1 | 300 | 1.00 | 0.83 - 0.69 | | Example B | 1 | 100 | 1.00 | 0.76 - 0.56 | | Example B | 10 | 1000 | 1.00 | 1.0 - 0.94 | | Example B | 10 | 300 | 1.00 | 0.95 - 0.78 | | Example B | 10 | 100 | 1.00 | 0.84 - 0.57 | | Example C | 1 | 1000 | 0.73 | 0.69 - 0.49 | | Example C | 1 | 300 | 0.88 | 0.63 - 0.48 | | Example C | 1 | 100 | 0.74 | 0.63 - 0.45 | | Example C | 10 | 1000 | 0.88 | 0.72 - 0.54 | | Example C | 10 | 300 | 0.87 | 0.65 - 0.48 | | Example C | 10 | 100 | 0.87 | 0.71 - 0.46 | - **两个高斯混合数据集**：每个类由五个高斯分布混合而成，原始数据维度d = 10000，m分别取0.5（问题AM）和0.1（问题BM）。在不同N、M和k值下，使用PM - NN方法的准确率如下表： | Example | N | M | k | mean | range | | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | | Example AM | 10 | 1 | 100 | 0.87 | 0.9 - 0.79 | | Example AM | 10 | 3 | 100 | 0.93 | 0.97 - 0.81 | | Example AM | 10 | 5 | 100 | 0.93 | 0.97 - 0.87 | | Example AM | 100 | 1 | 100 | 0.944 | 0.99 - 0.91 | | Example AM | 100 | 3 | 100 | 0.971 | 1.0 - 0.93 | | Example AM | 100 | 5 | 100 | 0.98 | 1.0 - 0.94 | | Example BM | 100 | 1 | 100 | 0.932 | 0.572 0.69 - 0.48 | | Example BM | 100 | 3 | 100 | 0.975 | 0.577 0.64 - 0