数学在政治选区划分、生物数据聚类及细菌繁殖研究中的应用

# 数学在政治选区划分、生物数据聚类及细菌繁殖研究中的应用 ## 1. 政治选区划分问题概述 确定选区是一个复杂的优化问题，尤其是在拥有众多领土单元的地区。历史上，政治党派在划分选区时常常存在偏袒现象，例如1812年美国马萨诸塞州被不合理地划分成不自然的选区，这种行为被称为“杰利蝾螈”（Gerrymandering）。为了创建选民数量均匀分布的最佳选区，我们将介绍一种改进的数学模型，该模型不偏袒任何政治选项，基于聚类分析，确保各选区选民数量相近。 ### 1.1 模型问题定义 假设有一个由 \(m\) 个领土单元（如克罗地亚的城市和市镇）组成的地区，我们要将其划分为 \(k\) 个选区（\(1 < k < m\)），需满足以下条件： - 选区由在某种距离意义上相互接近的领土单元组成。 - 各选区的选民数量与平均选民数量的差异不超过 ±\(p\%\)。 为确保领土单元在空间上的接近性，我们使用LS距离函数。此外，还可以考虑其他标准来进一步优化模型，如社会经济同质性、与现有选区的相似性、面积相似性以及保留较大领土单元等。 ### 1.2 数学模型与算法 #### 1.2.1 整数方法 为每个选区 \(\pi_j\) 分配相应的中心 \(c_j\)，中心 \(c_j\) 是属于该选区的领土单元 \(a_i\) 的加权算术平均值，权重为这些领土单元的选民数量。确定最佳选区的问题可归结为以下基于中心的聚类问题： \[ \min_{c_1,\ldots,c_k\in\mathbb{R}^2} \sum_{i = 1}^{m} q_i \min\left\{\|a_i - c_1\|^2, \ldots, \|a_i - c_k\|^2\right\} \] 定义隶属矩阵 \(W = (w_{ij}) \in \mathbb{R}^{m\times k}\)： \[ w_{ij} = \begin{cases} 1, & a_i \in \pi_j \\ 0, & a_i \notin \pi_j \end{cases} \] 所有条件可表述如下： - \(\sum_{j = 1}^{k} w_{ij} = 1\)，\(i = 1, \ldots, m\)，确保每个领土单元属于某个选区。 - \(\sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{k} w_{ij} q_i = Q\)，确保每个领土单元的选民都被纳入某个选区。 - \((1 - \frac{p}{100})\frac{Q}{k} \leq \sum_{i = 1}^{m} w_{ij} q_i \leq (1 + \frac{p}{100})\frac{Q}{k}\)，确保各选区选民数量的均匀性。 - \(w_{ij} \in \{0, 1\}\)，\(i = 1, \ldots, m\)，\(j = 1, \ldots, k\)，确保每个领土单元完全属于一个选区。 目标函数可写为： \[ \min_{w_{ij}} \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{k} w_{ij} q_i \left\|a_i - \frac{\sum_{s = 1}^{m} w_{sj} q_s a_s}{\sum_{s = 1}^{m} w_{sj} q_s}\right\|^2 \] 若存在某个领土单元的选民数量超过平均选民数量的 \(p\%\)，则需要允许该领土单元分配到多个选区。通过引入满足此条件的领土单元索引集 \(I_0\)，并修改条件为： \[ w_{ij} \in \begin{cases} [0, 1], & i \in I_0 \\ \{0, 1\}, & i \in \{1, \ldots, m\} \setminus I_0 \end{cases}, \quad j = 1, \ldots, k \] 在这些条件下，该优化问题是一个有约束的非线性全局优化问题，变量众多且存在许多潜在的局部解。为解决此问题，我们提出以下算法： **算法8.40**： 1. **步骤0**：输入 \(1 \leq k \leq m\)；\(I = \{1, \ldots, m\}\)；\(J = \{1, \ldots, k\}\)；\(A = \{a_i \in \mathbb{R}^2 : i \in I\}\)。选择不同的中心 \(c_1, \ldots, c_k\)，假设它们在启发式上接近选区的中心。 2. **步骤1**：求解整数规划问题： \[ \min_{w_{ij}} \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{k} w_{ij} q_i \|a_i - c_j\|^2 \] 满足条件 \((8.80) - (8.82)\) 和 \((8.86)\)。解为矩阵 \(\hat{W} = (\hat{w}_{ij})\)。 3. **步骤2**：计算新的中心： \[ \hat{c}_j := \frac{\sum_{s = 1}^{m} \hat{w}_{sj} q_s a_s}{\sum_{s = 1}^{m} \hat{w}_{sj} q_s}, \quad j = 1, \ldots, k \] 4. **步骤3**：对于所有 \(j \in J\)，如果 \(c_j \neq \hat{c}_j\)，则设置 \(c_j = \hat{c}_j\) 并返回步骤1；否则，设置 \(W^\star = \hat{W}\)，\(c_j^\star = \hat{c}_j\) 对于每个 \(j \in J\)，并停止算法。 #### 1.2.2 线性松弛方法 条件 \(w_{ij} \in \{0, 1\}\) 保证了选区边界不分割领土单元，但有时可以放松此条件，允许部分分割。此时，\(w_{ij} \in [0, 1]\)，同时满足 \(\sum_{j = 1}^{k} w_{ij} = 1\)。条件 \((8.82)\) 需修改为： \[ \left\lfloor(1 - \frac{p}{100})\frac{Q}{k}\right\rfloor + 1 \leq \sum_{i = 1}^{m} w_{ij} q_i \leq \left\lceil(1 + \frac{p}{100})\frac{Q}{k}\right\rceil - 1 \] 这样，全局优化问题变得稍微简单一些。我们使用算法8.40的改进版本来解决此问题，在步骤1中求解一个线性规划问题。为了找到解决方案，我们从1000个随机生成的初始中心开始迭代，选择目标函数值最小的解。 ### 1.3 克罗地亚选区划分实例 克罗地亚的领土由 \(m = 556\) 个城市和市镇组成。我们首先尝试应用线性松弛方法和整数方法确定 \(k = 10\) 个选区，要求各选区的选民数量与平均选民数量的差异不超过5%。 #### 1.3.1 线性松弛方法 应用