量子计算中的纠错与容错技术

# 量子计算中的纠错与容错技术 ## 1. CSS 码的稳定器角色 在量子纠错码领域，稳定器码（Stabilizer Code）是一种重要的编码方式。对于稳定器码 C，开发其他单量子比特门和多量子比特门的逻辑对应物较为困难。以 Steane 码为例，它为一组通用近似逻辑门提供了结构，这些逻辑门可用于任何编程语言。 ### 1.1 CSS 码的构建条件 假设经典码 C1 能纠正 t 个错误，码 C2 为 [n, k1] 码。为了创建 [[n, k1 k2]] CSS 码，这些码必须满足一定要求。从稳定器的角度来看，我们可以构建相关的可观测量。 对于矩阵 P1（对应 C1）的每一行，将其看作比特串 b = b1…bn，构建可观测量 Xb = Xb1 Xbn。由于 P1 的每一行线性独立，因此有 n - 1 个独立变量。同样，对于矩阵 P2（对应 C2）的每一行，构建 Zb = Zb1 – Zbn。Nk2 个观测变量以及 2nk1 个观测变量（X 和 Z）都是独立可观测的。当且仅当由这些可观测量形成的群 S 是阿贝尔群时，S 才是稳定器码。 ### 1.2 CSS 码的稳定性证明 CSS 要求意味着 S 是阿贝尔群。所有 Xa|a P1 相互对易，类似地，所有 Zb|P2 的元素也相互对易。群分量 X 和 Z 仅当 a b 为偶数时才对易，因为它们是反对易的。因此，对于 P1 和 P2 的所有行 a 和 b，S 的分量都对易，0 mod 2 保证了这种等价性。生成矩阵 P0 为 C2 C1，由于 1 + 2 = 0，我们可以得出 S 是阿贝尔群，C 是 S 中的阿贝尔稳定器码。 ### 1.3 Steane 码示例 Steane 码采用 [7, 4] 汉明码作为 C1 和 C2。其奇偶校验矩阵为： ```plaintext P = ⎛ ⎜ ⎜⎝ 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎟⎠ ``` 为了获得 Steane 码的稳定器，对于奇偶校验矩阵的每一行，在 1 出现的位置定义一个 Z 算子，在 0 出现的位置定义一个 I 算子： ```plaintext Z ⊗Z ⊗Z ⊗I ⊗Z ⊗I ⊗I Z ⊗Z ⊗I ⊗Z ⊗I ⊗Z ⊗I Z ⊗I ⊗Z ⊗Z ⊗I ⊗I ⊗Z ``` 同时，对于奇偶校验矩阵的每一行，在 1 出现的位置定义一个 X 算子： ```plaintext X ⊗X ⊗X ⊗I ⊗X ⊗I ⊗I X ⊗X ⊗I ⊗X ⊗I ⊗X ⊗I X ⊗I ⊗X ⊗X ⊗I ⊗I ⊗X ``` 这六个可观测量恰好稳定 Steane 码 C，因此 Steane 码是一个 [[7, 1]] 稳定器码。 ## 2. 量子计算中的容错技术 ### 2.1 容错量子计算的必要性 量子处理的鲁棒性只能通过量子纠错（EC）来实现。“鲁棒计算”指的是能够以任意精度进行任意长度的计算。然而，在量子纠错中，以往的方法是在完美执行的错误前提下进行研究的。计算中使用的门可能会传播无法被纠错码纠正的错误，即使环境的相互作用方式在码的处理范围内。因此，量子纠错必须与容错方法结合使用，以提供有弹性的量子计算。 ### 2.2 稳定量子计算的启动 为了简化问题，我们考虑 [[k, 1]] 量子纠错码。使用特定的 [[k, 1]] 量子纠错码以容错方式对由通用门组成的任何电路进行编码，可以降低计算出错的概率。 我们考虑一个量子电路 Q0，将时间划分为若干区间，使得任何一个量子比特在同一时间内最多只受一个门的影响。Q0 被划分为两部分，一部分用于逻辑门，另一部分用于综合征测量和纠错变换。每个时间区间又分为两部分，