离散共形映射：边界值问题与曲面均匀化

# 离散共形映射：边界值问题与曲面均匀化 ## 1. 引言 离散共形映射在处理多面体表面的几何变换中具有重要作用，它能够将不同拓扑结构的多面体表面映射到特定的标准表面，如球面、环面等。本文将详细介绍离散共形映射在球面、环面以及更高亏格曲面均匀化中的应用，同时还会探讨一些相关的数值实验和优化方法。 ## 2. 球面均匀化 ### 2.1 四边形网格的球面均匀化 对于与球面同胚的具有四边形面的循环多面体表面 $( \Sigma, \ell )_{euc}$，可以通过以下步骤实现均匀化： 1. 选择一个顶点 $k \in V_{\Sigma}$。 2. 应用离散共形度量变换，使得与顶点 $k$ 关联的所有边具有相同的长度。可以对除 $k$ 的邻接顶点外的所有顶点设置 $u = 0$，此步骤中多边形不等式是否被违反无关紧要。 3. 移除顶点 $k$ 及其关联的所有四边形，得到复形 $( \Sigma', \ell' )_{euc}$。 4. 对于 $( \Sigma', \ell' )_{euc}$ 求解问题 3.2，规定 $\Sigma'$ 的内部顶点的总角度 $\Theta_i = 2\pi$，$\Sigma'$ 中不是 $\Sigma$ 里 $k$ 的邻接顶点的边界顶点的总角度 $\Theta_i = \pi$，并对 $\Sigma$ 中 $k$ 的邻接顶点固定比例因子 $u_i = 0$。结果是一个具有循环四边形的平面多面体表面，$\Sigma$ 中与顶点 $k$ 关联的面的连续边界边位于一条直线上。 5. 通过球极投影将顶点映射到单位球面，并将顶点 $k$ 重新插入到 $\infty$ 的像点处。 6. 可选步骤：应用莫比乌斯归一化。 通过上述步骤得到的是一个顶点位于单位球面上的循环多面体表面，它与 $( \Sigma, \ell )_{euc}$ 离散共形等价。 ### 2.2 使用球面泛函 虽然球面泛函 $E_{sph}$ 不是凸函数，但仍可用于计算到球面的映射。为简化起见，仅考虑三角剖分，此时所有 $\lambda$ 变量固定，可将 $E_{sph}$ 视为仅关于对数比例因子 $u$ 的函数。数值方法需要找到 $E_{sph}(u)$ 的鞍点。 在临界点处，缩放方向 $1_{V_{\Delta}} \in R^{V_{\Delta}}$ 是海森矩阵的负方向。可以采用以下极大极小方法： 定义函数 $\tilde{E}$ 为在缩放方向上最大化泛函 $E_{sph}$，即 $\tilde{E}(u) = \max_{h \in R} \left\{ E_{sph}(u + h1_{V_{\Delta}}) \right\}$ 然后在 $R^{V_{\Delta}}$ 中与方向 $1_{V_{\Delta}}$ 垂直的超平面上最小化泛函 $\tilde{E}$。 ### 2.3 莫比乌斯归一化 欧几里得多面体表面 $( \Sigma, \ell )_{euc}$ 在 $R^3$ 中的离散共形等价性是莫比乌斯不变的。如果所有顶点 $v \in V_{\Sigma}$ 都包含在单位球面 $S^2 \subset R^3$ 中，则存在一个 $S^2$ 的莫比乌斯变换 $T$，使得变换后顶点的质心为原点，即 $\sum_{v \in V_{\Sigma}} T(v) = 0$。 可以通过以下方法计算这样的莫比乌斯变换： 1. 找到函数 $\delta$ 的唯一极小值点，函数 $\delta$ 定义在 $R^3$ 中的开单位球上： $\delta(x) = \sum_{v \in V} \log \left( \frac{ - \langle x, v \rangle}{\sqrt{ - \langle x, x \rangle}} \right)$ 其中 $\langle x, y \rangle = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3 - 1$。 2. 选择一个将 $S^2$ 映射到自身并将极小值点映射到原点的莫比乌斯变换 $T$。 函数 $\delta$ 的梯度和海森矩阵分别为： $\text{grad} \delta(x) = \sum_{v \in V} \left( \frac{v}{\langle x, v \rangle} - \frac{x}{\langle x, x \rangle} \right)$ $\text{Hess} \delta(x) = \sum_{v \in V} \left( \frac{2 x^T x}{\langle x, x \rangle^2} - \frac{v^T v}{\langle x, v \rangle^2} - \text{diag} \left( \frac{1}{\langle x, x \rangle} \right) \right)$ ### 2.4 球面均匀化流程 ```mermaid graph TD A[选择顶点 k] --> B[应用离散共形度量变换] B --> C[移除顶点 k 及关联四边形] C --> D[求解问题 3.2] D --> E[球极投影到单位球面] E --> F[插入顶点 k 到无穷像点] F --> G{是否进行莫比乌斯归一化} G -- 是 --> H[进行莫比乌斯归一化] G -- 否 --> I[结束] H --> I ``` ## 3. 环面均匀化 每个亏格为 1 的黎曼曲面 $R$ 都与一个平坦环面共形等价，即与商空间 $C / \Lambda$ 共形等价，其中 $\Lambda = Z\omega_1 + Z\omega_2$ 是 $C$ 中的某个二维格。从 $R$ 到 $C / \Lambda$ 或从 $R$ 的万有覆盖到 $C$ 的双全纯映射称为均匀化映射。 对于亏格为 1 的多面体表面，构造离散均匀化映射相当于求解问题 3.1，规定所有顶点的总角度 $\Theta = 2\pi$。这为计算各种形式的亏格