可废止逻辑编程与信念变更算子评估框架

### 可废止逻辑编程与信念变更算子评估框架 #### 可废止逻辑编程知识表示 可废止逻辑编程（Defeasible Logic Programming，DeLP）是一个用于表示不完整和可能矛盾信息的有吸引力的框架，这是许多现实世界问题的基石。在知识表示方面，为了应对在处理这些问题时知识工程师通常会遇到的挑战，已经开发了一套在DeLP中表示知识的方法，它本质上是一组涵盖主要挑战的指南。 同时，还研究了DeLP与传统逻辑程序之间的关系，并探讨了DeLP环境下的可扩展性。例如，通过严格推导的文字序列可以构建从程序P到目标q的SLD推导，进而说明q能从P中推出。 #### 信念变更算子的评估框架 ##### 背景 信念修正（Belief Revision）或信念变更（Belief Change）主要处理将新信息融入现有知识库的问题。在过去的三十年里，提出了多种不同的信念变更算子，这些算子通常通过合理性假设和数学构造来描述，并且表示定理将假设集与构造联系起来，从而可以在理论上对不同算子进行比较。 然而，在比较算子时，对于它们所需的计算资源方面存在研究空白。过去由于计算能力有限，难以进行广泛测试，但现在有足够的资源来对每个算子的性能进行实证分析。 ##### 信念表示方式 - **信念集（Belief Set）**：将主体的认知状态表示为一个在逻辑后果下封闭的句子集合K（即K = Cn(K)），这是研究最多的方式。在经典论文中提出了对信念集的三种操作： - **扩展（Expansion）**：简单地将新信息添加到主体的认知状态中，记为K + α。 - **修正（Revision）**：以一致的方式将新信息添加到主体的认知状态中，记为K ∗α。 - **收缩（Contraction）**：从主体的认知状态中移除信念，记为K - α。修正和收缩通过一组合理性假设（AGM假设）来定义。 - **信念基（Belief Base）**：用任意的句子集合B来表示主体的认知状态。信念基比信念集更具表达性，例如B = {p, q}和B′ = {p∧q}虽然逻辑闭包相同，但它们是不同的信念基。并且在计算复杂度上具有优势，因此这里主要考虑这种表示方式。信念基的操作同样包括扩展、修正和收缩，扩展定义为B + α = B ∪{α}，给定一个收缩操作，可以通过Levi恒等式（(B - ¬α) + α）或反向Levi恒等式（B + α - ¬α）获得修正操作。 ##### 收缩操作的构造方式 - **内核收缩（Kernel Contraction）** - **内核定义**：记B ⊥⊥α为B关于α的内核，即B中所有蕴含α的最小子集的集合，其中每个元素称为一个α - 内核。形式上，一个集合X是B ⊥⊥α的元素，当且仅当： 1. X ⊆ B（X是B的子集）。 2. α ∈ Cn(X)（X蕴含α）。 3. 如果X′ ⊂ X，则α ∉ Cn(X′)（X是最小的）。 - **切割函数（Incision Function）**：一个切割函数σ为每个α - 内核“选择”至少一个元素。形式上，对于信念基B的切割函数σ满足： 1. σ(B ⊥⊥α) ⊆ ⋃ B ⊥⊥α。 2. 如果∅ ≠ X ∈ B ⊥⊥α，则X ∩ σ(B ⊥⊥α) ≠ ∅。 - **内核收缩定义**：信念基B的内核收缩 -σ定义为B -σ α = B \ σ(B ⊥⊥α)。内核收缩满足以下假设： - **成功性（Success）**：如果α ∉ Cn(∅)，则α ∉ Cn(B - α)，保证输入α从信念基的后果中移除。 - **包含性（Inclusion）**：B - α ⊆ B，保证在收缩过程中没有句子添加到信念基中。 - **一致性（Uniformity）**：如果对于每个B′ ⊆ B，α ∈ Cn(B′)当且仅当β ∈ Cn(B′)，则B - α = B - β，保证如果两个句子α和β是B的相同子集的后果，那么收缩B - α和B - β的结果相同。 - **核心保留性（Core - Retainment）**：如果β ∈ B \ B - α，则存在B′ ⊆ B，使得α ∉ Cn(B′)，但α ∈ Cn(B′ ∪{β})，保证只移除那些以某种方式有助于蕴含α的句子。 - **部分交收缩（Partial Meet Contraction）** - **剩余集定义**：记B⊥α为B关于α的剩余集，即B中所有不蕴含α的最大子集的集合。形式上，一个集合X是B⊥α的元素，当且仅当： 1. X ⊆ B（X是B的子集）。 2. α ∉ Cn(X)（X不蕴含α）。 3. 如果X ⊂ B′ ⊆ B，则α ∈ Cn(B′)（X是最大的）。 - **选择函数（Selection Function）**：一个选择函数γ为每个α选择B⊥α中的至少一个元素。形式上，对于信念基B的选择函数γ满足： 1. 如果B⊥α ≠ ∅，则∅ ≠ γ(B⊥α) ⊆ B⊥α。 2. 否则γ(B⊥α) = {B}。 - **部分交收缩定义**：部分交收缩 -γ定义为B -γ α = ⋂ γ(B⊥α)。部分交收缩满足的假设与内核收缩基本相同，除了核心保留性被一个稍强的假设“相关性（Relevance）”所取代：如果β ∈ B \ B - α，则存在B′使得B - α ⊆ B′ ⊆ B，α ∉ Cn(B′)且α ∈ Cn(B′ ∪{β})。 ##### 框架架构 该框架旨在创建一个与数学基础对齐的计算框架，将数学概念和算子直接转换到计算框架中，以便在多个地方出现相同概念时可以进行计算重用。 虽然大多数信念修正工作基于经典命题逻辑，但一些结果与底层逻辑无关。该框架遵循的原则是每个蕴含算子都可以通过一个公共API使用，用户仅依赖此API，因此蕴含算子是可互换的。基于抽象蕴含算子构建的信念修正可以用于任何逻辑、句子表示或蕴含算子实现。 此外，框架中的所有概念都有明确定义的API，包括集合、句子、修正算子、收缩算子、剩余集算子、选择函数、内核算子和切割函数等。这种一致性带来了诸多好处，例如实现独立于逻辑，可以插入不同的蕴含算子；编写新算子变得更容易，因为基本概念已经定义好；框架配备了完善的单元测试结构，便于编写测试用例；还提供了强大的可参数化工具，能够生成数千个伪随机场景，由于所有算子共享公共API，因此可以在相同场景下测量多个算法的性能成本，保证了比较的公平性。 ##### 实现细节 该框架使用Java编写，Java具有性能良好、支持面向对象编程以及广泛采用等特点，便于开发者学习。框架的关键元素是其抽象，以下是一些重要抽象的介绍： - **句子（Sentence）** ```java public interface Sentence<S extends Sentence<S>> { S negate(); } ``` 句子是任何可以返回其否定的对象，所有句子必须是不可变的，对句子的内部表示或底层逻辑没有其他限制。目前有命题句子和描述逻辑公理（OWL2）的实现。 - **不可变集合（Immutable Set）** ```java public interface ISet<E> extends Iterable<E> { ISet<E> union(ISet<E> elements); ISet<E> union(E element); ISet<E> minus(E element); ISet<E> minus(ISet<?> elements); ISet<E> intersection(ISet<?> elements); boolean contains(Object element); boolean containsAll(ISet<?> elements); boolean isEmpty(); int size(); } ``` 集合概念在数学领域无处不在，信念修正也不例外。不可变集合具有常见的操作（∪, ∩, ⊂, \），在编写算法时非常有用，可以使代码更具表现力。例如，公式A = B ∩(C \ D)可以实现为A = B.intersection(C.minus(D))。 - **SAT推理器（SATReasoner）** ```java public interface SATReasoner<S extends Sentence<S>> { boolean isSatisfiable(ISet<S> sentences); boolean isUnsatisfiable(ISet<S> sentences); boolean entails(ISet<S> sentences, S sentence); } public abstract class AbstractSATReasoner<S extends Sentence<S>> implements SATReasoner<S> { public boolean entails(ISet<S> sentences, S sentence) { return isUnsatisfiable(sentences.union(sentence.negate())); } public boolean isUnsatisfiable(ISet<S> sentences) { return !isSatisfiable(sentences); } } ``` SAT推理器可以判断一组句子是否可满足，目前有三种实现，证明了推理器是可互换的，可以用于命题句子（使用SAT4J或MiniSAT）和OWL公理（使用HermiT）。 - **修正算子（RevisionOperator）** ```java public interface RevisionOperator<S extends Sentence<S>> { ISet<S> revise(ISet<S> base, S alpha); } public class InternalKernelRevisionOperator<S extends Sentence<S>> implements RevisionOperator<S> { private final KernelOperator<S> kernelOperator; private final IncisionFunction<S> incisionFunction; public ISet<S> revise(ISet<S> base, S alpha) { return base.minus(incision(kernel(base, alpha.negate()))).union(alpha); } } // 部分交实现的修正算子 public ISet<S> revise(ISet<S> base, S alpha) { return intersection(this.selection (this.remainder(base, sentence.negate()))).union(sentence) } ``` 修正算子作用于信念基和句子α，产生一个蕴含α的一致信念基。例如，内核修正算子和部分交修正算子的实现都遵循了相应的数学公式，并且由于使用了不可变数据结构，实现方式类似于原始公式，使得实现多个使用相同基本概念的算子变得简单。 通过以上介绍，我们可以看到该框架为信念变更算子的实证评估提供了一个强大而灵活的平台，有助于在实际应用中选择最合适的算子。 ### 可废止逻辑编程与信念变更算子评估框架 #### 框架的应用示例 为了展示该框架的实用性，下面通过一个具体的示例来说明如何使用该框架比较两个不同的信念变更算子：内核修正算子和部分交修正算子。 ##### 场景设定 假设我们有一个信念基 $B = \{p, q, r\}$，现在要将新信息 $\alpha = \neg p$ 融入到这个信念基中。我们将分别使用内核修正算子和部分交修正算子来完成这个任务，并比较它们的性能和结果。 ##### 实现步骤 1. **初始化信念基和新信息** ```java // 假设我们有一个实现了 ISet 接口的集合类 ISet<Sentence> base = new MySet<>(); base = base.union(new PropositionalSentence("p")); base = base.union(new PropositionalSentence("q")); base = base.union(new PropositionalSentence("r")); Sentence alpha = new PropositionalSentence("¬p"); ``` 2. **使用内核修正算子进行修正** ```java // 假设我们有内核算子和切割函数的实现 KernelOperator<Sentence> kernelOperator = new MyKernelOperator<>(); IncisionFunction<Sentence> incisionFunction = new MyIncisionFunction<>(); InternalKernelRevisionOperator<Sentence> kernelRevisionOperator = new InternalKernelRevisionOperator<>(kernelOperator, incisionFunction); ISet<Sentence> revisedBaseKernel = kernelRevisionOperator.revise(base, alpha); ``` 3. **使用部分交修正算子进行修正** ```java // 假设我们有剩余集算子和选择函数的实现 RemainderOperator<Sentence> remainderOperator = new MyRemainderOperator<>(); SelectionFunction<Sentence> selectionFunction = new MySelectionFunction<>(); PartialMeetRevisionOperator<Sentence> partialMeetRevisionOperator = new PartialMeetRevisionOperator<>(remainderOperator, selectionFunction); ISet<Sentence> revisedBasePartialMeet = partialMeetRevisionOperator.revise(base, alpha); ``` 4. **比较结果** ```java System.out.println("内核修正结果: " + revisedBaseKernel); System.out.println("部分交修正结果: " + revisedBasePartialMeet); ``` ##### 性能评估 由于框架中的所有算子共享一个公共 API，我们可以在相同的场景下测量这两个算子的性能。例如，我们可以使用 Java 的 `System.currentTimeMillis()` 方法来记录每个算子执行修正操作所花费的时间。 ```java long startTimeKernel = System.currentTimeMillis(); ISet<Sentence> revisedBaseKernel = kernelRevisionOperator.revise(base, alpha); long endTimeKernel = System.currentTimeMillis(); long timeKernel = endTimeKernel - startTimeKernel; long startTimePartialMeet = System.currentTimeMillis(); ISet<Sentence> revisedBasePartialMeet = partialMeetRevisionOperator.revise(base, alpha); long endTimePartialMeet = System.currentTimeMillis(); long timePartialMeet = endTimePartialMeet - startTimePartialMeet; System.out.println("内核修正算子执行时间: " + timeKernel + " 毫秒"); System.out.println("部分交修正算子执行时间: " + timePartialMeet + " 毫秒"); ``` 通过以上步骤，我们可以直观地看到两个算子的修正结果和执行时间，从而在实际应用中根据具体需求选择更合适的算子。 #### 框架的优势总结 该框架为信念变更算子的研究和应用提供了诸多优势，具体如下表所示： | 优势 | 描述 | | ---- | ---- | | 可互换性 | 蕴含算子、内核算子、切割函数、选择函数等都是可互换的，使得框架可以适应不同的逻辑和算法实现。 | | 独立性 | 实现独立于逻辑，可以插入不同的蕴含算子，方便在不同的逻辑环境下使用。 | | 易开发 | 基本概念已经定义好，编写新算子变得更容易，降低了开发难度。 | | 可测试性 | 框架配备了完善的单元测试结构，便于编写测试用例，保证算法的正确性。 | | 公平比较 | 提供了强大的可参数化工具，能够生成数千个伪随机场景，所有算子共享公共 API，保证了在相同场景下对不同算子进行公平比较。 | #### 未来展望 虽然该框架已经为信念变更算子的实证评估提供了一个强大的平台，但仍有一些可以改进和扩展的方向。 - **支持更多逻辑**：目前框架主要支持命题逻辑和描述逻辑，未来可以考虑扩展支持更多类型的逻辑，如模态逻辑、时态逻辑等，以满足更广泛的应用需求。 - **优化算法性能**：对于一些复杂的场景，算子的执行时间可能较长。可以进一步研究和优化内核算子、切割函数、选择函数等的算法，提高框架的性能。 - **集成机器学习技术**：可以将机器学习技术与信念变更算子相结合，例如使用机器学习算法来自动调整切割函数和选择函数的参数，以提高算子的适应性和性能。 总之，该框架为信念变更算子的研究和应用提供了一个良好的开端，未来的发展有望使其在更多领域发挥更大的作用。 通过以上对可废止逻辑编程知识表示和信念变更算子评估框架的介绍，我们可以看到这些技术在处理不完整和矛盾信息、以及选择合适的信念变更算子方面具有重要的意义和价值。无论是在理论研究还是实际应用中，它们都为我们提供了有力的工具和方法。