机器学习中的聚类与贝叶斯分析方法

### 机器学习中的聚类与贝叶斯分析方法 在机器学习领域，聚类和贝叶斯分析是非常重要的技术。聚类可以将数据分组，而贝叶斯分析则基于先验知识和观测数据进行统计推断。下面将详细介绍相关的方法和算法。 #### 1. 特征向量与聚类 假设矩阵 $A$ 有 $n$ 个线性无关向量，且有一个唯一的（主）特征值具有最大的模。若 $z_0$ 在主特征值对应的特征向量方向上有非零分量，那么 $z_s$ 会收敛到该特征值对应的特征向量。主特征值是序列 $\mu_s = \frac{z_k^T Az_k}{z_k^T z_k}$ 的极限值。 当找到第一个特征对后，可以通过修改 $A_0 \triangleq A$ 来找到对应于第二大主特征向量的特征对，即 $A_{i + 1} = A_i - \lambda_i v_i v_i^T$。这里按照特征值从小到大的顺序排列，前 $k$ 个特征向量对应于 $k$ 个最小的特征值。 对于数据点的映射，可以使用 $k$-means 算法。选择对应于 $k$ 个最小非零特征值的特征向量，初始质心可以取为这 $k$ 个特征向量的前 $k$ 个元素。特征向量包含了数据在 $k$ 个质心（限制在 $k$ 维）上的近似投影。计算特征向量中所有行到质心的距离，并更新质心坐标，迭代直到分配不再变化，即可得到聚类结果。 例如，对包含 400 个地理对象的数据集进行谱聚类。使用 QR 方法计算拉普拉斯矩阵的特征值，使用带消去的幂法计算对应的特征向量，并使用 Forgy 的 $k$-means 算法形成聚类。聚类结果显示出良好的聚类效果。 #### 2. 迭代改进与均匀图划分 当找到一个近似的最小割，产生一个二分划分（即两个大小近似相等的聚类）后，可以使用迭代改进算法来改进这个近似。 设 $G = (V, E)$ 是一个图，算法试图将 $V$ 划分为两个大小相等的不相交子集 $A$ 和 $B$，使得 $A$ 和 $B$ 中节点之间边的权重之和 $T$ 最小。定义 $a$ 的内部成本 $I_a$ 为 $a$ 与 $A$ 中其他节点之间边的成本之和，外部成本 $E_a$ 为 $a$ 与 $B$ 中节点之间边的成本之和。令 $D_a = E_a - I_a$ 为 $a$ 的外部和内部成本之差。如果交换 $a$ 和 $b$，成本的减少量为 $T_{old} - T_{new} = D_a + D_b - 2c_{ab}$，其中 $c_{ab}$ 是 $a$ 和 $b$ 之间可能边的成本。算法试图找到 $A$ 和 $B$ 元素之间的最优交换操作序列，使 $T_{old} - T_{new}$ 最大，然后执行这些操作，将图划分为 $A$ 和 $B$。 均匀图划分问题是指，对于一个具有 $|V| = 2n$ 个顶点的完全无向图 $G = (V, E)$，定义在其边上的对称成本矩阵 $c_{ij}$，找到一个划分 $V = A \cup B$，使得 $|A| = |B|$，并且成本 $C(A, B) = \sum_{i \in A, j \in B} c_{ij}$ 在所有均匀划分中最小。 如果 $(A^*, B^*)$ 是最优均匀划分，考虑某个划分 $(A, B)$，令 $X$ 是 $A$ 中不在 $A^*$ 中的元素，$Y$ 是 $B$ 中类似定义的元素，那么 $|X| = |Y|$，且 $A^* = (A - X) \cup Y$，$B^* = (B - Y) \cup X$，即可以通过交换 $X$ 和 $Y$ 中的元素得到最优均匀划分。 给定均匀划分 $A, B$ 以及元素 $a \in A$ 和 $b \in B$，形成 $A' = (A - \{a\}) \cup \{b\}$，$B' = (B - \{b\}) \cup \{a\}$ 的操作称为交换。交换 $a$ 和 $b$ 会导致成本减少（增益）$g(a, b) = D(a) + D(b) - 2d_{ab}$。均匀图划分问题的交换邻域 $N_s(A, B)$ 是指所有可以通过单次交换从均匀划分 $A, B$ 得到的均匀划分 $A', B'$。 下面是一个简单的流程图，展示了聚类和均匀图划分的大致流程： ```mermaid graph TD; A[数据输入] --> B[计算特征值和特征向量]; B --> C[k-means聚类]; C --> D[近似最小割]; D --> E[迭代改进]; E --> F[均匀图划分]; ``` #### 3. 贝叶斯分析基础 贝叶斯分析是机器学习中的重要技术。贝叶斯方法基于这样的思想：任何统计推断不仅基于观测数据，还基于对数据性质的某种先验信念。贝叶斯定理可以表示为 $P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$。 在贝叶斯方法中，这个方程用于建立条件概率和总概率之间的关系，常常会导致迭代过程。设 $A$ 是一个模型，$B$ 是观测数据，则 $P(A|B)$ 是后验概率，$P(A)$ 是先验概率（在观测任何数据之前 $A$ 的概率），$P(B|A)$ 和 $P(B)$ 分别是似然和边际似然。主要原则是在确定后验时纳入一个假定的分布（先验）。 #### 4. 贝叶斯平均 贝叶斯平均使用由样本性质给出的权重。计算贝叶斯平均需要使用先验均值 $m$ 和一个与观测数据集大小成比例的权重 $C$，公式为 $\bar{x} = \frac{Cm + \sum_{i = 1}^{n} x_i}{C + n}$。 例如，给定三个类别 $A, B, C$ 的评分，使用 $C = \frac{1 + 3 + 2}{3} = 2$ 和 $m = \frac{10 + 6 + 5 + 4 + 3 + 10}{6} = 6.33$，可以得到： | 类别 | 计算过程 | 结果 | | ---- | ---- | ---- | | $A$ | $m_A = \frac{Cm + 10/1}{C + 1} = \frac{2\times6.33 + 10}{2 + 1} $ | 7.56 | | $B$ | $m_B = \frac{Cm + (6 + 5 + 4)/3}{C + 3} = \frac{2\times6.33 + 5}{2 + 3} $ | 5.53 | | $C$ | $m_C = \frac{Cm + (3 + 10)/2}{C + 2} = \frac{2\times6.33 + 6.5}{2 + 2} $ | 6