量子计算中的Shor算法与Grover算法解析

# 量子计算中的Shor算法与Grover算法解析 ## 1. Shor算法概述 ### 1.1 周期近似计算 假设状态测量值 $v = 427$，由于 $v$ 和 $2^n$ 是互质的，我们可以利用分数展开来近似计算周期。以下是连分数计算过程的追踪表格： | $i$ | $a_i$ | $p_i$ | $q_i$ | | --- | --- | --- | --- | | 0 | 0 | 0 | 1 | | 1 | 0.8339844 | 1 | 1 | | 2 | 0.1990632 | 5 | 6 | | 3 | 0.02352941 | 42 | 253 | | | 0.5 | | | 算法在 $6 = q_2 < M \leq q_3$ 时终止，因此我们猜测 $f$ 的周期 $q = 6$。因为 6 是偶数，$a^{6/2}-1 = 11^3 - 1 = 1330$ 和 $a^{6/2} + 1 = 11^3 + 1 = 1332$ 可能与 $M$ 有公因数。在这个例子中，$\gcd(211, 330) = 7$ 且 $\gcd(211, 332) = 3$。 ### 1.2 Shor算法的效率 在算法实现过程中，我们需要考虑完成每个步骤所需的门或经典步骤数量，以及该过程可能重复的次数。 - 对于整数 $x > y$ 的欧几里得算法的第 1 部分和第 5 部分，需要 $O(\log M) = O(m)$ 步。 - 第 4 部分的连分数算法完成也需要 $O(m)$ 步。 - 第 3 部分可以省略。 - 计算 $U_f$ 和量子傅里叶变换时，通过量子傅里叶变换将一个量子比特转换为另一个量子比特需要 $O(m)$ 步。$U_f$ 可以使用提供的模幂运算技术实现，需要 $O(n^3)$ 步。Shor 定义的模幂运算可以更有效地执行变换 $U_f$，因为它比最有效的经典技术花费更少的时间和空间。 - Shor 算法的单次迭代时间复杂度为 $O (n^2 \log n\log \log n)$。 ### 1.3 影响Shor算法效果的因素 为了证明 Shor 算法的有效性，我们还需要证明各部分不会过度重复。可能出现以下四种问题： - $f(x) = a^x \bmod M$ 的周期可能是奇数。 - 第 4 部分可能得出 $M$ 是 $M$ 的因数。 - 第 3 部分获得的值 $v$ 可能不够接近 $2^n/r$ 的倍数。 - 从 $v$ 得到 $2^n/r$ 的倍数 $j\frac{2^n}{r}$，但 $j$ 和 $r$ 可能有公因数，此时分母 $q$ 是周期的因数，而不是周期本身。 经典归约存在前两个困难，传统经典推理将概率限制在最大 1/2。如果周期 $r$ 能整除 $2^n$，则不会出现这些困难。Shor 表明，在一般情况下，$v$ 很可能在 $2/r$ 的倍数的 1/2 范围内。以量子傅里叶变换为起点，可以很容易地证明问题 4 的每个可能解都是同样合理的。 ## 2. Shor算法的内部测量省略 在 Shor 算法中，可以跳过对状态的第二个寄存器进行测量以确定 $u$。状态由许多具有相同周期的傅里叶分析组成，由于量子跃迁的线性性，这些量的傅里叶变换会叠加。因为每个函数与第二个寄存器中的不同值 $u$ 相关联，所以各部分的态密度不会相互作用。通过测量第一个寄存器可以确定周期，它会产生一个接近某个 $j$ 的值。 以下是相关公式推导： 已知： $ \frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{x = 0}^{2^n - 1} |x\rangle|f(x)\rangle = \frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{u \in R} \sum_{x \in X_u} |x\rangle|u\rangle = \frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{u \in R} \left(\sum_{x = 0}^{2^n - 1} g_u(x)|x\rangle\right) |u\rangle $ 其中，$F(x)$ 是值域为 $R$ 的函数，$g_u$ 是以 $u$ 为索引的函数族，$g_u(x) = \begin{cases}1, & \text{if } f(x) = u \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$。 经过变换： $ U_F \otimes I \left( \frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{u \in R} \left(\sum_{x = 0}^{2^n - 1} g_u(x)|x\rangle\right) |u\rangle \right) = \frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{u \in R} \left( U_F \sum_{x} g_u(x)|x\rangle \right) |u\rangle = C' \sum_{u \in R} \left(\sum_{c = 0}^{2^n - 1} G_u(c)|c\rangle\right) |u\rangle $ 测量这个状态的前半部分会得到一个接近 $2^n/r$ 倍数的 $c$，就像在原始过程中评估第二个寄存器一样，因为所有 $g_u$ 都有相同的周期。 ## 3. Shor算法的推广 ### 3.1 离散对数问题 Diffie–Hellman、El Gamal 和椭圆曲线公钥加密等都依赖于离散对数问题的传统难度。所有常见的公钥加密和数字签名技术都使用因式分解或离散对数问题。公钥加密和数字签名技术对于在线交易和通信的安全性和效率至关重要。 离散对数问题描述为：假设 $Z_p$ 是由 1 到 $p$ 可与 $p$ 相乘的数组成的集合，$b$ 是该集合的生成元。对于 $y \in Z_p$，满足 $b^x = y \bmod