拓扑绝缘体、超导体与相互作用拓扑相的探索

### 拓扑绝缘体、超导体与相互作用拓扑相的探索 #### 一、Z₂拓扑绝缘体 Z₂拓扑绝缘体是一种不同类型的拓扑绝缘体（TI），主要聚焦于二维和三维的AII类系统。这种具有时间反演不变性的TI于2005年由Kane和Mele发现，他们考虑了蜂窝晶格上具有自旋 - 轨道相互作用的自旋为1/2粒子的模型，对应的二维相被称为量子自旋霍尔效应（QSHE），其特征是具有保持时间反演对称性（TRS）的反向传播边缘态对。从体 - 边界对应关系来看，Z₂指标代表边缘态对数量的奇偶性。2007年，Molenkamp小组使用HgTe量子阱首次实现了QSHE。同年，三个独立的理论小组发现，与陈数拓扑绝缘体不同，由Z₂不变量表征的TI也存在于三维中，这一发现随后得到了实验证实，并引发了大量研究。 与Z不变量类似，Z₂指标可以通过多种方式构建，并且可以从不同的角度理解。在讨论具体构建之前，需要强调TRS所施加的额外约束的关键作用。对于时间反演对称的二维系统，与占据态相关的Bloch丛Bₙ是平凡的。在TRS存在的情况下，Berry连接A(k)和A( - k)相差一个规范变换∇χ(k)，而Berry曲率满足F( - k)= - F(k)。因此，陈数特征受到约束，在4n - 2维中陈数为零，但在4n维中不为零。对于二维时间反演不变系统，第一陈数C₁ = 0，在整个Brillouin环面T²上全局定义本征态没有障碍，即Bloch丛Bₙ是平凡的。然而，TRS对本征态施加了额外的约束，正是考虑这些约束时，非平凡拓扑才会出现。 具体来说，k和 - k处的Bloch哈密顿量满足T H(k)T⁻¹ = H( - k)，这意味着Bloch哈密顿量在k处的任何本征态的时间反演像T|uₙk⟩是Bloch哈密顿量在 - k处具有相同能量的本征态（Kramers定理）。由于T² = - 1（自旋为1/2粒子的TR算符），两个Kramers伙伴是正交的，矩阵Mᵢⱼ = ⟨uᵢk|T|uⱼk⟩只包含非对角元素。在TRS存在的情况下，能带结构的特征是存在Kramers对。虽然总是存在一个全局基|uₙk⟩用于价带，并且在整个Brillouin环面上平滑定义，但当绝缘体是非平凡时，不可能在整个Brillouin环面上连续定义Kramers对。这一障碍本质上是TR不变绝缘体中非平凡拓扑的来源。为了捕捉这一点，需要明确考虑Kramers约束，在纤维丛的语言中，需要用秩为2的TRS Bloch丛Bₜₙ代替（平凡的）丛Bₙ，其纤维定义为（价带）Kramers对|Ψᵢ(k)⟩ = (|uₙk⟩, T|uₙk⟩)所张成的子空间。 Freed和Moore指出，Z₂指标可以定义为Bₜₙ丛的拓扑不变量。这种Z₂指标的构建涉及Brillouin区的时间反演不变点处所谓行列式线丛的取向，这些取向的乘积受到TR对称丛Bₜₙ的拓扑约束。时间反演不变点，通常称为高对称点或时间反演不变动量（TRIM），在TR不变系统中起着重要作用，例如在TRIM处，Kramers伙伴具有相同的动量，频谱至少是双重简并的。 ##### 1. Pfaffian的零点 Kane和Mele最初构建Z₂指标是基于这样的观察：在BZ的一半中，Pfaffian Pf[M]（其中矩阵M由式Mᵢⱼ = ⟨uᵢk|T|uⱼk⟩给出）的零点数量的奇偶性是一个拓扑不变量。一般来说，2n×2n反对称矩阵A的Pfaffian Pf[A]定义为： \[Pf[A] = \frac{1}{2^n n!} \sum_{\sigma \in S_{2n}} sign(\sigma) \prod_{i = 1}^{n} A_{\sigma(2i - 1),\sigma(2i)}\] 例如，对于2×2反对称矩阵\(A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{pmatrix}\)，有Pf[A] = a。Pfaffian具有(PfA)² = DetA和Pf[BABᵀ] = Det[B]Pf[A]等性质。 Pfaffian的消失表明填充带的Kramers相关本征空间之间的正交性。假设Pf[M]在kₐ处有一个简单零点，即Pfaffian在kₐ处有一个缠绕数为±1的涡旋。由于时间反演将k和 - k处的本征空间映射，Pfaffian在 - kₐ处也有一个零点。为了避免整个Brillouin环面上系统描述的冗余，引入了TR有效Brillouin区（EBZ），它由Brillouin环面的一半组成，并且除了边界外，包含每个Kramers对(k, - k)中的一个成员。EBZ具有一个