FIR滤波器频率响应详解

### FIR滤波器频率响应详解 #### 1. 引言 线性时不变（LTI）系统在信号处理领域有着广泛的应用。当输入为离散时间复指数信号时，LTI系统的响应具有独特的性质。本文将深入探讨有限脉冲响应（FIR）滤波器的频率响应，包括其正弦响应、叠加原理的应用、稳态和瞬态响应以及频率响应的性质。 #### 2. FIR系统的正弦响应 ##### 2.1 基本原理 考虑一个FIR系统，其差分方程为： \[y[n] = \sum_{k=0}^{M} b_k x[n - k]\] 假设输入是一个具有归一化弧度频率\(\hat{\omega}\)、幅度\(A\)和相位\(\phi\)的复指数信号： \[x[n] = A e^{j\phi} e^{j\hat{\omega}n}, -\infty < n < \infty\] 则对应的输出为： \[y[n] = \sum_{k=0}^{M} b_k A e^{j\phi} e^{j\hat{\omega}(n - k)} = \left(\sum_{k=0}^{M} b_k e^{-j\hat{\omega}k}\right) A e^{j\phi} e^{j\hat{\omega}n} = H(\hat{\omega}) A e^{j\phi} e^{j\hat{\omega}n}, -\infty < n < \infty\] 其中，\(H(\hat{\omega}) = \sum_{k=0}^{M} b_k e^{-j\hat{\omega}k}\)，这个量被称为系统的频率响应函数，通常简称为频率响应。为了与z变换的符号保持一致，我们使用\(H(e^{j\hat{\omega}})\)来表示频率响应，即： \[H(e^{j\hat{\omega}}) = \sum_{k=0}^{M} b_k e^{-j\hat{\omega}k} = \sum_{k=0}^{M} h[k] e^{-j\hat{\omega}k}\] 这里\(h[k]\)是FIR滤波器的单位脉冲响应序列，它与滤波器系数\(b_k\)相同。 ##### 2.2 重要要点 - **输入输出关系**：当输入是离散时间复指数信号时，LTI FIR滤波器的输出也是一个具有相同频率\(\hat{\omega}\)但不同复振幅的离散时间复指数信号。频率响应乘以复指数输入信号，从而改变复振幅。需要注意的是，\(y[n] = H(e^{j\hat{\omega}})x[n]\)仅对于频率为\(\hat{\omega}\)的复指数信号成立。 - **频率响应的表示**：频率响应\(H(e^{j\hat{\omega}})\)是复值的，可以表示为\(H(e^{j\hat{\omega}}) = |H(e^{j\hat{\omega}})| e^{j\angle H(e^{j\hat{\omega}})}\)或\(H(e^{j\hat{\omega}}) = \Re\{H(e^{j\hat{\omega}})\} + j\Im\{H(e^{j\hat{\omega}})\}\)。幅度\(|H(e^{j\hat{\omega}})|\)通常被称为系统的增益，它会改变信号的幅度；角度\(\angle H(e^{j\hat{\omega}})\)会给输入信号的相位\(\phi\)增加额外的相移。 ##### 2.3 示例 - **频率响应公式推导**：考虑一个LTI系统，其差分方程系数为\(\{b_k\} = \{1, 2, 1\}\)，则频率响应为： \[H(e^{j\hat{\omega}}) = 1 + 2e^{-j\hat{\omega}} + e^{-j2\hat{\omega}} = e^{-j\hat{\omega}}(e^{j\hat{\omega}} + 2 + e^{-j\hat{\omega}}) = e^{-j\hat{\omega}}(2 + 2\cos\hat{\omega})\] 幅度为\(|H(e^{j\hat{\omega}})| = 2 + 2\cos\hat{\omega}\)，相位为\(\angle H(e^{j\hat{\omega}}) = -\hat{\omega}\)。 - **复指数输入响应**：若输入为\(x[n] = 2e^{j\pi/4} e^{j(\pi/3)n}\)，频率\(\hat{\omega} = \pi/3\)，则\(|H(e^{j\pi/3})| = 3\)，\(\angle H(e^{j\pi/3}) = -\pi/3\)，输出为： \[y[n] = 3e^{-j\pi/3} \cdot 2e^{j\pi/4} e^{j\pi n/3} = 6e^{-j\pi/12} e^{j\pi n/3} = 6e^{j\pi/4} e^{j\pi(n - 1)/3}\] #### 3. 叠加原理与频率响应 ##### 3.1 叠加原理的应用 叠加原理使得在输入为多个复指数信号之和时，很容易求出LTI系统的输出。例如，若输入为一个具有特定归一化频率\(\hat{\omega}_1\)的余弦波加上一个直流电平： \[x[n] = A_0 + A_1 \cos(\hat{\omega}_1 n + \phi_1)\] 将其表示为复指数信号之和： \[x[n] = A_0 e^{j0n} + \frac{A_1}{2} e^{j\phi_1} e^{j\hat{\omega}_1 n} + \frac{A_1}{2} e^{-j\phi_1} e^{-j\hat{\omega}_1 n}\] 根据叠加原理，我们可以分别求出每个分量的输出，然后将它们相加得到总输出： \[y[n] = H(e^{j0}) A_0 e^{j0n} + H(e^{j\hat{\omega}_1}) \frac{A_1}{2} e^{j\phi_1} e^{j\hat{\omega}_1 n} + H(e^{-j\hat{\omega}_1}) \frac{A_1}{2} e^{-j\phi_1} e^{-j\hat{\omega}_1 n}\] 若\(H(e^{j\hat{\omega}_1}) = |H(e^{j\hat{\omega}_1})| e^{j\angle H(e^{j\hat{\omega}_1})}\)，则最终输出可以表示为一个修改后的余弦信号加上一个常数： \[y[n] = H(e^{j0}) A_0 + |H(e^{j\hat{\omega}_1})| A_1 \cos(\hat{\omega}_1 n + \phi_1 + \angle H(e^{j\hat{\omega}_1}))\] ##### 3.2 示例 考虑一个FIR滤波器，其系数为\(\{b_k\} = \{1, 2, 1\}\)，输入为\(x[n] = 3\cos(\frac{\pi}{3} n - \frac{\pi}{2})\)。该系统的频率响应为\(H(e^{j\hat{\omega}}) = (2 + 2\cos\hat{\omega}) e^{-j\hat{\omega}}\)，在\(\hat{\omega} = \frac{\pi}{3}\)处，\(|H(e^{j\pi/3})| = 3\)，\(\angle H(e^{