量子计算工具与问题解答汇总

### 量子计算工具与问题解答汇总 #### 1. Mathematica应用Q3介绍 Q3是一款用于辅助研究量子信息处理、量子多体系统和量子自旋系统的Mathematica应用程序。它为量子物理这些领域的符号计算和数值模拟提供了各种工具和实用程序。 ##### 1.1 结构组成 Q3由多个不同层次的软件包组成，主要的三个软件包是Quisso、Fock和Wigner，它们分别用于模拟量子信息处理、量子多体系统和量子自旋系统。这些软件包基于一个更低层次的软件包Pauli，Pauli提供了直接处理未标记量子比特的泡利矩阵和算符的有用工具，同时也为上述三个及其他更高层次的软件包奠定了编程结构并定义了对象。 Q3可通过GitHub仓库获取：[https://github.com/quantum - mob/Q3App](https://github.com/quantum - mob/Q3App) ##### 1.2 安装方法 Q3提供了两种安装方法： - **基于Paclet系统（适用于Mathematica 12.1或更高版本）**：此方法不仅完全自动化，而且便于后续获取更新。若你的Mathematica版本兼容，只需复制以下代码并在Mathematica Notebook中运行： ```mathematica Module[ { ps }, ps = PacletSiteRegister[ "https://github.com/quantum-mob/PacletServer/raw/main", "Quantum Mob Paclet Server" ]; PacletSiteUpdate[ps]; PacletInstall["Q3"] ] ``` - **传统方法**：下载文件并将其复制到适当的文件夹。详细信息可查看安装指南：[https://github.com/quantum - mob/Q3App/blob/main/INSTALL.md](https://github.com/quantum - mob/Q3App/blob/main/INSTALL.md) ##### 1.3 快速开始 应用程序安装完成后，在Wolfram语言文档中心（Mathematica的帮助窗口）的搜索字段中输入 "Q3" 或 "Q3/guide/Q3"，即可获取该应用程序的详细技术信息。需要注意的是，安装应用程序后，首次在Wolfram语言文档中心搜索关键字时，Mathematica会构建新文档文件的搜索索引，这可能需要几秒钟到几分钟的时间，具体取决于你的计算机，且每次更新应用程序时只会发生一次。 #### 2. 演示集成编译QuantumWorkbook QuantumWorkbook是Mathematica Notebook文件的集合，其中包含用于生成相关演示的Wolfram语言代码文件。读者可以尝试自行修改代码，基于这些演示构建自己的示例，并试验新的想法。 ##### 2.1 安装 复制以下代码并在Mathematica Notebook中执行： ```mathematica Module[ { ps }, ps = PacletSiteRegister[ "https://github.com/quantum-mob/PacletServer/raw/main", "Quantum Mob Paclet Server" ]; PacletSiteUpdate[ps]; PacletInstall["Q3"]; PacletInstall["QuantumWorkbook"] ] ``` 为了方便使用，安装QuantumWorkbook的同时也会安装主应用程序Q3。该软件包可能会进行错误修复和改进，你可以不时检查更新： ```mathematica QuantumWorkbookCheckUpdate[] ``` 若有更新，可使用以下函数进行安装： ```mathematica QuantumWorkbookUpdate[] ``` ##### 2.2 快速开始 QuantumWorkbook安装完成后，在Wolfram文档中心（Mathematica的帮助窗口）的搜索字段中输入 "QuantumWorkbook"，你将看到该工作簿的目录。 #### 3. 部分问题解答 ##### 3.1 量子计算概述问题 - **问题2.4**： 首先，有 \(H H = Z\)，其中受控 - Z操作在控制和目标角色上是“对称”的，因此用两个点表示电路。由此可得 \(H H H H = H Z H = H H = H Z H\)。 - **问题2.7**： 算符 \(U\) 的本征态与泡利 \(X\) 算符的本征态相同。 ```mathematica In[ ]:= U = Rotation[θ, S[1, 1]] // Elaborate Out[ ]= Cos[θ / 2] - I S1[x] Sin[θ / 2] ``` 为验证这一点，取泡利 \(X\) 算符在量子比特 \(S[1,None]\) 上属于本征值1的一个本征态： ```mathematica In[ ]:= vec = S[1, 6] ** Ket[]; vec // LogicalForm Out[ ]= 0S1[1 / 2] + 1S1[1 / 2] ``` 这证实了该向量确实是预期的本征态。 ```mathematica In[ ]:= U ** vec // LogicalForm // TrigToExp // Simplify Out[ ]= (-Exp[I θ / 2] 0S1 + Exp[-I θ / 2] 1S1) / 2 ``` 检查属于本征值 - 1的另一个本征态： ```mathematica In[ ]:= vec = S[1, 6] ** Ket[S[1] -> 1]; vec // LogicalForm Out[ ]= 0S1[1 / 2] - 1S1[1 / 2] In[ ]:= U ** vec // LogicalForm // TrigToExp // Simplify Out[ ]= (Exp[I θ / 2] 0S1 - Exp[-I θ / 2] 1S1) / 2 ``` 辅助量子比特会根据原生量子比特所处的本征态产生相对相位偏移。 ```mathematica In[ ]:= Let[Real, θ]; qc = QuantumCircuit[LogicalForm[Ket[], S@{1, 2}], S[1, 6], "Separator", S[2, 6], ControlledU[S[2], Rotation[θ, S[1, 1]], "Label" -> "U"]] Out[ ]= 0⟩⟨0⟩ H H U In[ ]:= out = ExpressionFor[qc] // TrigToExp; KetFactor@out Out[ ]= (1 / 2) (-Exp[I θ / 2] 0S1 + Exp[-I θ / 2] 1S1) (Exp[I θ / 2] 0S2 + Exp[-I θ / 2] 1S2) ``` 进行基变换以检测： ```mathematica In[ ]:= qc = QuantumCircuit[LogicalForm[Ket[], S@{1, 2}], S[1, 6], "Separator", S[2, 6], ControlledU[S[2], Rotation[θ, S[1, 1]], "Label" -> "U"], "Separator", Rotation[θ / 2, S[2, 3]], S[2, 6], Measurement[S[2]]] Out[ ]= 0⟩⟨0⟩ H H U Uz H In[ ]:= out = ExpressionFor[qc] // TrigToExp; LogicalForm[KetFactor@out, S@{1, 2}] Out[ ]= (-Exp[I θ / 4] 0S10S2 + Exp[-I θ / 4] 1S10S2) / 2 ``` - **问题2.8**： 构建所需的量子电路模型： ```mathematica In[ ]:= qc = QuantumCircuit[LogicalForm[Ket[], S@{1, 2, 3}], S[{1, 2, 3}, 6], ControlledU[S[2], Rotation[φ, S[1, 1]], "Label" -> "U"], ControlledU[S[3], Rotation[2 φ, S[1, 1]], "Label" -> "U2"], "Separator", {Rotation[0, S[2, 3]], Rotation[Pi / 2, S[3, 3]]}, S[3, 6]] Out[ ]= 0⟩⟨0⟩⟨0⟩ H H H U U2 Uz Uz H In[ ]:= out = ExpressionFor[qc] // TrigToExp // Simplify; KetFactor@out /. θ -> Pi / 2 Out[ ]= (1 / 4 + I / 4) (-Exp[3 I Pi / 4] 0S1 + Exp[-3 I Pi / 4] 1S1) (Exp[I Pi / 4] 0S2 + Exp[-I Pi / 4] 1S2) 0S3 ``` - **问题2.10**： 假设陈述 (2.10a) 成立，即 \(\hat{A} \hat{B} = \hat{I}\)，\(\hat{A} \hat{X} \hat{B} = \hat{U}\)。第一个条件意味着 \(\hat{B} = \hat{A}^{\dagger}\)。令 \(\hat{W} = \hat{A} \hat{H}\)（其中 \(\hat{H}\) 是哈达玛门），则 \(\hat{W} \hat{Z} \hat{W}^{\dagger} = \hat{A} \hat{X} \hat{A}^{\dagger} = \hat{U}\)，即陈述 (2.10b) 成立。此外，\(\text{Tr} \hat{U} = \text{Tr} \hat{W} \hat{Z} \hat{W}^{\dagger} = \text{Tr} \hat{Z} = 0\)，\(\text{det} \hat{U} = \text{det} \hat{W} \hat{Z} \hat{W}^{\dagger} = \text{det} \hat{Z} = - 1\)，所以陈述 (2.10c) 也成立。 反之，若 \(\hat{U} = \hat{W} \hat{Z} \hat{W}^{\dagger}\) 对于某个酉算符 \(\hat{W}\) 成立，令 \(\hat{A} = \hat{W} \hat{H}\) 且 \(\hat{B} = \hat{A}^{\dagger}\)，则满足 (2.10a)，且 (2.10c) 也已证明成立。 若陈述 (2.10c) 成立，\(\text{Tr} \hat{U} = 0\) 意味着 \(\hat{U} = u_x \hat{X} + u_y \hat{Y} + u_z \hat{Z}\)（\(u_x, u_y, u_z \in C\)）。\(\hat{U}\) 的酉性条件意味着所有 \(u_{\mu}\) 的相位必须相同，且 \(\sum_{\mu} |u_{\mu}|^2 = 1\)，进而 \(\hat{U} = e^{i\varphi} \hat{W} \hat{Z} \hat{W}^{\dagger}\) 对于某个 \(\varphi \in R\) 和某个酉算符 \(\hat{W}\) 成立。\(\text{det} \hat{U} = - 1\) 导致 \(\varphi = n\pi\)（\(n \in Z\)）。对于 \(e^{i\varphi} = - 1\)（\(n\) 为奇数），只需将 \(\hat{W}\) 替换为 \(\hat{W}' = \hat{W} \hat{X}\)。因此，无论 \(e^{i\varphi} = \pm 1\)，陈述 (2.10b) 都成立。由于已证明 (2.10b) 蕴含 (2.10a)，证明完成。 ##### 3.2 量子计算机问题 - **问题3.3**： 定义 \(|D\rangle := \frac{|1\rangle \eta_1 + |2\rangle \eta_2}{\eta}\)，其中 \(\eta := \sqrt{\eta_1^2 + \eta_2^2}\)。则哈密顿量为 \(\hat{H} = \epsilon |\epsilon\rangle\langle\epsilon| - \frac{1}{2\eta} (|\eta\rangle\langle\epsilon| + |\epsilon\rangle\langle\eta|)\)。 - **(a) 暗态构造**：哈密顿量 (F.9) 中两个本征态的表达式与正文（Sect. 3.3.1）中的形式相同。该哈密顿量仅涉及 \(|\epsilon\rangle\) 和 \(|\eta\ran