医学图像分割：3DRF超声心动图与气道壁分割的创新方法

### 医学图像分割：3D RF超声心动图与气道壁分割的创新方法 #### 1. 3D RF超声心动图分割 在医学图像领域，3D RF超声心动图分割是一项关键技术，它对于心脏结构的准确识别和分析具有重要意义。下面将详细介绍其相关的模型和方法。 ##### 1.1 线性预测器 线性预测器是3D RF超声心动图分割的基础。它通过使用围绕 $I_{r + 1}^k$ 的体素邻域，以复数系数和残差对复数值 $I_r^k$ 进行线性建模。由于序列的采集帧率较高（> 30 fps），相对于被成像结构的运动，过程 $\{I_1, ..., I_l\}$ 可视为局部平稳的，因此所有预测器使用相同的预测系数。线性预测器的残差由以下公式给出： \[ e_r^k = \begin{cases} I_{r + 1}^k - \sum_j \alpha_{1,j} \text{Re}(I_{r}^{k,j}) - i \sum_j \beta_{1,j} \text{Im}(I_{r}^{k,j}), & k \in \Omega_C \\ I_{r + 1}^k - \sum_j \alpha_{2,j} \text{Re}(I_{r}^{k,j}) - i \sum_j \beta_{2,j} \text{Im}(I_{r}^{k,j}), & k \in \tilde{\Omega}_C \end{cases} \] 其中，$\Omega_C$ 代表血池，$\tilde{\Omega}_C$ 代表心肌。预测器系数由 $j$ 索引，$I_{r}^{k,j}$ 是体素 $I_r^k$ 的第 $j$ 个邻居，$i = \sqrt{-1}$。由于假设RF的概率密度函数为圆形高斯分布，我们有： \[ p_n(I_l^k, ..., I_2^k | I_1^k, \alpha_n, \beta_n, \sigma_n) \propto \prod_{r = 1}^{l - 1} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_n^2}} \exp\left[-\frac{1}{2\sigma_n^2} \text{Re}\{e_r^{k\top} e_r^k\}\right] \] ##### 1.2 可分离系数回归 在预测中纳入多个帧会导致设计矩阵过大，使得回归算法在计算和内存方面负担过重。为了减小设计矩阵的大小，我们假设用于预测器的体素邻域的每个维度（即一个扫描线维度和两个角度维度）可以独立处理，从而使预测器的系数成为三个更简单回归中估计的系数的张量积。设预测器系数在每个维度上由 $x$、$y$ 和 $z$ 索引，则有 $\alpha_{xyz} = a_x a_y a_z$ 和 $\beta_{xyz} = b_x b_y b_z$。为了估计每个维度的回归参数，我们首先通过加权求和合并其他两个维度，权重是其他两个维度的最新回归参数，然后更新当前维度的模型。这种张量积方法通过大大减少回归执行的空间，简化了回归的复杂性。假设搜索窗口的维度为 $X \times Y \times Z$，预测器中有 $XYZ$ 个参数，而使用可分离系数方法，我们只需计算长度为 $X$、$Y$ 和 $Z$ 的三个系数张量，将回归中计算的参数数量减少到 $X + Y + Z$。 ##### 1.3 分割模型 分割通过最大化以下关于 $\varphi$ 的对数后验概率来执行： \[ \begin{align*} \max \log p(I_1 | I_2, ..., I_l, \varphi, \Theta) &= \max \sum_{k \in \Omega} H(\varphi_k) \left[\sum_{r = 1}^{l - 1} \log p_1(I_{r + 1}^k | I_r^k, \alpha_1, \beta_1, \sigma_1) + \log \Pi_1(|I_r^k| | \mu_1, \tau_1)\right] \\ &+ \sum_{k \in \Omega} (1 - H(\varphi_k)) \left[\sum_{r = 1}^{l - 1} \log p_2(I_{r + 1}^k | I_r^k, \alpha_2, \beta_2, \sigma_2) + \log