交叉模糊函数（CAF）合成算法解析

### 交叉模糊函数（CAF）合成算法解析 在信号处理领域，交叉模糊函数（CAF）的合成是一个重要的研究方向。本文将详细介绍两种用于合成给定交叉模糊函数的算法，分别针对离散CAF和连续时间CAF进行合成，并通过具体的数值示例展示算法的效果。 #### 1. 离散CAF合成 在离散CAF合成中，原本的算法认为离散CAF的所有值同等重要，但在实际应用中并非如此。为了考虑到某些区域的匹配可能比其他区域更重要的情况，我们引入了权重 $\{w_{kp}\}$（实值且非负）到相应的准则中。 ##### 1.1 准则函数 新的准则函数 $C_3(x, y, \{\varphi_{kp}\})$ 定义如下： \[ C_3(x, y, \{\varphi_{kp}\}) = \sum_{k=-N + 1}^{N - 1} \sum_{p = -N/2}^{N/2 - 1} w_{kp} \left| g_{kp} e^{j\varphi_{kp}} - x^H J_{kp} y \right|^2 \] 该函数可以重写为： \[ C_3 = \sum_{k} \sum_{p} w_{kp} |g_{kp}|^2 - x^H B y - y^H B^H x + \sum_{k} \sum_{p} w_{kp} \left| x^H J_{kp} y \right|^2 \] 其中， \[ B = \sum_{k} \sum_{p} w_{kp} g_{kp} e^{-j\varphi_{kp}} J_{kp} \] 由于权重 $\{w_{kp}\}$ 的存在，$C_3$ 的最后一项不再等于 $N^3$，这使得 $C_3$ 的最小化比之前的 $C_2$ 更困难。为了解决这个问题，我们省略了对 $x$ 的峰均比（PAR）约束，让 $x$ 和 $y$ 自由变化。 ##### 1.2 循环算法 在这种放松的条件下，我们可以使用表7.2中的循环算法来最小化 $C_3$。具体步骤如下： |步骤|操作| | ---- | ---- | |0|随机初始化 $x$ 和 $y$。| |1|对于固定的 $x$ 和 $y$，最小化器 $\varphi_{kp}$ 由 (7.14) 给出。| |2|对于固定的 $\{\varphi_{kp}\}$ 和 $y$，准则 $C_3$ 可以写为 $C_3 = x^H D_1 x - x^H d_1 - d_1^H x + const$，其中 $d_1 = B y$，$D_1 = \sum_{k} \sum_{p} w_{kp} J_{kp} y y^H J_{kp}^H$。最小化器 $x$ 为 $x = D_1^{-1} d_1$。| |3|对于固定的 $\{\varphi_{kp}\}$ 和 $x$，准则 $C_3$ 可以写为 $C_3 = y^H D_2 y - y^H d_2 - d_2^H y + const$，其中 $d_2 = B^H x$，$D_2 = \sum_{k} \sum_{p} w_{kp} J_{kp}^H x x^H J_{kp}$。最小化器 $y$ 为 $y = D_2^{-1} d_2$。| |迭代|重复步骤1、2和3，直到收敛。| ##### 1.3 数值示例 我们通过几个数值示例来验证算法的效果。 - **示例1**：我们试图合成如图7.1(a)所示的离散CAF，中心峰值为 $N = 50$，多普勒频移 $p = 0$ 和 $p = 9$ 处的两条水平条纹的旁瓣为零，离散CAF的体积在其他地方均匀分布。使用表7.1中的算法，当 $|x(n)| = 1$ 时，合成的离散CAF如图7.1(b)所示，大致近似于期望的离散CAF。 - **示例2**：使用表7.2中的算法，图7.2(a)显示了期望的离散CAF，图7.2(b)显示了所使用的权重。合成的离散CAF如图7.3(a)所示，中心峰值相对较小（约为7），最高旁瓣几乎为12。对于得到的 $x$ 和 $y$，能量或PAR约束未得到满足：$\|x\|^2 = 24.08$，$PAR(x) = 2.05$，$\|y\|^2 = 95.63$。但对于某些现代系统，发射波形的PAR值2.05可能是可以接受的。此外，只要 $y$ 相应地进行缩放，$x$ 总是可以进行缩放以使其能量等于期望的值（如 $N$）。 - **示例3**：图7.4(a)显示了另一个期望的离散CAF（具有宽主瓣），图7.4(b)显示了所使用的权重。合成的离散CAF如图7.5所示。 #### 2. 连续时间CAF合成 在连续时间CAF合成中，我们提出了一种算法，联合设计 (7.1) 中的 $u(t)$ 和 $v(t)$，使它们的（连续时间）CAF $\chi(\tau, f)$ 近似于期望的CAF。 ##### 2.1 波形设置 假设 $u(t)$ 和 $v(t)$ 都由 $N$ 个子脉冲组成： \[ u(t) = \sum_{k = 1}^{N} x(k) p_k(t) \] \[ v(t) = \sum_{l = 1}^{N} y(l) p_l(t) \] 其中 $\{p_n(t)\}_{n = 1}^{N}$ 是脉冲成形函数，例如 $p_n(t)$ 可以是 (1.2) 中描述的理想矩形成形脉冲。 ##### 2.2 CAF表达式 对于上述波形设置，CAF $\chi(\tau, f)$ 可以表示为： \[ \chi^*(\tau, f) = \int_{-\infty}^{\infty} \left( \sum_{k = 1}^{N} x(k) p_k(t) \right) \left( \sum_{l = 1}^{N} y^*(l) p_l^*(t + \tau) \right) e^{j2\pi f t} dt \] \[ = \sum_{k = 1}^{N} \sum_{l = 1}^{N} x(k) y^*(l) \int_{-\infty}^{\infty} p_k(t) p_l^*(t + \tau) e^{j2\pi f t} dt \] 定义 $\bar{\chi}_{kl}(\tau, f) = \int_{-\infty}^{\infty} p_k(t) p_l^*(t + \tau) e^{j2\pi f t}