平面四边形图上的离散复分析：离散外微积分详解

# 平面四边形图上的离散复分析：离散外微积分详解 ## 1. 离散全纯函数与离散外微积分概述 离散复分析在处理平面四边形图时，离散全纯函数是一个重要概念。若\(h\)是离散全纯的，根据离散莫雷拉定理，对于\(X_0\)中的任何离散轮廓\(P\)，都有\(\oint_{P} hdz = 0\)。这使得\(hdz\)能被积分为一个在\(V(X)\)上定义良好的函数\(f_X\)，该函数在加上一个加法常数后是唯一的。通过方程\(f_X((v + w) / 2) = ( f (v) + f (w)) / 2\)（对于\(\Lambda\)的任何边\((v, w)\)），可以在\(V(\Lambda)\)上定义一个函数\(f\)。最终，\(f\)在\(\Gamma_0\)和\(\Gamma_0^*\)上加上两个独立的加法常数后是唯一的，并且满足离散全纯的条件\(\frac{f (b_+) - f (b_-)}{b_+ - b_-} = h(Q) = \frac{f (w_+) - f (w_-)}{w_+ - w_-}\)，即\(\partial_{\Lambda} f = h\)。 离散外微积分的处理方式与Mercat的方法有相似之处，但也存在一些差异。主要区别在于函数与离散一元形式相乘的符号表示不同，这使得我们能够在更广泛的离散一元形式类上定义离散外导数。 ### 1.1 离散外导数 - **定义**：设\(f : V(\Lambda_0) \to \mathbb{C}\)，\(h : V(\diamond_0) \to \mathbb{C}\)，离散外导数\(df\)和\(dh\)定义为\(X_0\)定向边上的离散一元形式： - \(df := \partial_{\Lambda} f dz + \overline{\partial}_{\Lambda} f d\overline{z}\) - \(dh := \partial_{\diamond} hdz + \overline{\partial}_{\diamond} h d\overline{z}\) - **离散外导数的计算**：设\(\omega\)是定义在与\(v \in V(\Lambda)\)对应的中值图\(X\)的面\(F_v\)的所有边界边或与\(Q \in F(\Lambda)\)对应的面\(F_Q\)的所有四条边界边上的离散一元形式。在第一种情况下，\(\omega = pdz + qd\overline{z}\)，其中\(p\)，\(q\)定义在与\(v\)相邻的\(\Lambda\)的所有面上；在第二种情况下，\(\omega = pdz + qd\overline{z}\)，其中\(p\)，\(q\)定义在与\(Q\)相邻的\(\Lambda\)的所有顶点上。\(F_v\)或\(F_Q\)上的离散外导数\(d\omega\)为： - \(d\omega|_{F_v} := (\partial_{\diamond} q - \overline{\partial}_{\diamond} p) \Omega_{\Lambda}\) - \(d\omega|_{F_Q} := (\partial_{\Lambda} q - \overline{\partial}_{\Lambda} p) \Omega_{\diamond}\) 离散外导数的定义由离散斯托克斯定理保证其良好定义性，该定理还证明了\(df\)和\(d\omega\)的定义的合理性。离散斯托克斯定理表明： - 对于\(X_0\)中从\(\Lambda_0\)的边\(vv'_-\)中点开始到边\(vv'_+\)中点结束的任何有向边\(e\)，有\(\int_{e} df = \frac{f (v'_+) - f (v'_-)}{2} = \frac{f (v) + f (v'_+)}{2} - \frac{f (v) + f (v'_-)}{2}\) - 对于\(X_0\)中具有逆时针定向边界\(\partial F\)的任何有限面集合\(F\)，有\(\iint_{F} d\omega = \oint_{\partial F} \omega\) ### 1.2 闭离散一元形式与相关推论 - **闭离散一元形式的定义**：设\(\diamond_0 \subseteq \diamond\)形成一个单连通闭区域。若定义在\(X_0\)定向边上的离散一元形式\(\omega\)满足\(d\omega \equiv 0\)，则称\(\omega\)为闭的。例如，离散外导数\(df\)（\(f : V(\Lambda_0) \to \mathbb{C}\)）就是闭的离散一元形式。 - **相关推论**： - 若\(f : V(\Lambda_0) \to \mathbb{C}\)，则在与\(v \in V(\Lambda_0) \setminus V(\partial\Lambda_0)\)对应的\(X_0\)的任何面\(F_v\)上，\(ddf = 0\)。这一结论可通过离散斯托克斯定理证明，即证明对于\(X_0\)中的任何离散基本循环\(P\)，都有\(\oint_{P} df = 0\)。 - 离散导数的交换性：对于\(f : V(\Lambda_0) \to \mathbb{C}\)，在所有\(v \in V(\Lambda_0) \setminus V(\partial\Lambda_0)\)的顶点上，有\(\partial_{\diamond}\overline{\partial}_{\Lambda} f (v) = \overline{\partial}_{\diamond}\partial_{\Lambda} f (v)\)。特别地，若\(f\)是离散全纯的，则\(\partial_{\Lambda} f\)也是离散全纯的。 - \(f : V(\Lambda_