非正交多址认知无线电网络中的鲁棒波束成形：高斯信道状态信息

### 非正交多址认知无线电网络中的鲁棒波束成形：高斯信道状态信息 #### 1. 高斯信道状态信息误差模型 在无线通信网络中，信道状态信息（CSI）的准确估计至关重要。之前介绍过有界信道模型，它为信道变化定义了一个受限区域，提供了最坏情况下的估计。而这里要介绍的高斯 CSI 误差模型则更为现实，它假设信道估计误差服从高斯分布。具体公式如下： - \(h_k = \hat{h}_k + \Delta h_k\)，其中\(\Delta h_k \sim \mathcal{CN}(0, H_k)\)，对于所有\(k \in \mathcal{K}\)； - \(g_n = \hat{g}_n + \Delta g_n\)，其中\(\Delta g_n \sim \mathcal{CN}(0, G_n)\)，对于所有\(n \in \mathcal{N}\)。 这里，\(\Delta h_k\)和\(\Delta g_n\)是信道估计误差向量，\(\hat{h}_k\)和\(\hat{g}_n\)是基站侧估计的信道向量，\(H_k\)和\(G_n\)是估计误差向量的协方差矩阵。 #### 2. 基于功率最小化的问题建模 尽管使用了不同的信道模型，但由于不完美的 CSI 估计产生的残余干扰对消息检测的影响与有界误差模型类似。因此，次级用户（SU）\(k\)的可达数据速率表达式保持不变，只是\(\Delta h_k\)处于一个新的集合中。与现有的关于不完美 CSI 的非正交多址（NOMA）研究不同，这里使用上述高斯估计误差模型来构建一个优化问题： - **目标函数**： - \(P1: \min_{W_k \in \mathbb{C}^{M\times M}, V \in \mathbb{C}^{M\times M}, \rho} Tr(\sum_{k = 1}^{K} W_k + V)\) - **约束条件**： - \(C1: Pr\{R_k \geq R_{k,min}\} \geq 1 - \xi_k\)，对于所有\(k \in \mathcal{K}\)； - \(C2: Pr\{E_{Practical}^k \geq P_{k,s}\} \geq 1 - \xi_{k,s}\)，对于所有\(\Delta h_k \sim \mathcal{CN}(0, H_k)\)，\(k \in \mathcal{K}\)； - \(C3: Pr\{g_n^{\dagger} \Sigma g_n \leq P_{n,p}\} \geq 1 - \xi_{n,p}\)，对于所有\(\Delta g_n \sim \mathcal{CN}(0, G_n)\)，\(n \in \mathcal{N}\)； - \(C4: Tr(\sum_{k = 1}^{K} W_k + V) \leq P_B\)； - \(C5: 0 < \rho < 1\)； - \(C6: V \succ 0\)，\(W_k \succ 0\)； - \(C7: Rank(W_k) = 1\)，对于所有\(k \in \mathcal{K}\)。 我们的目标是找到预编码向量\(w_k\)（\(k \in \mathcal{K}\)）、能量向量\(v\)和功率分配比\(\rho\)，以使所有用户获得满意的服务质量（QoS），同时还能收集一部分能量供未来使用。这里，我们假设速率\(R_k\)高于预定义值\(R_{k,min}\)的概率，使用阈值\(\xi_k\)来控制该概率。同样，\(\xi_{k,s}\)和\(\xi_{n,p}\)分别用于控制第\(k\)个 SU 收集能量的中断概率和第\(n\)个主用户（PU）所经历的干扰。 由于\(P1\)是非凸的，并且约束条件\(C1 - C3\)涉及概率和不确定性，求解起来比较困难。受 Zhou 等人的启发，我们借助伯恩斯坦型不等式进行近似求解。 ##### 2.1 伯恩斯坦型不等式 I 设\(f(z) = z^{\dagger}Az + 2Re\{z^{\dagger}b\} + c\)，其中\(A \in \mathbb{H}^N\)，\(b \in \mathbb{C}^{N\times1}\)，\(c \in \mathbb{R}\)，且\(z \sim \mathcal{CN}(0, I)\)。对于任何\(\xi \in (0,1]\)，\(Pr\{f(z) \geq 0\} \geq 1 - \xi\)的近似凸形式可以写成： - \(Tr(A) - \sqrt{-2\ln(\xi)\upsilon_1} + \ln(\xi)\upsilon_2 + c \geq 0\)； - \(\left\|\begin{bmatrix}vec(A) \\ \sqrt{2}b\end{bmatrix}\right\| \leq \upsilon_1\)； - \(\upsilon_2I + A \succ 0\)，\(\upsilon_2 \geq 0\)。 这里，\(\upsilon_1\)和\(\upsilon_2\)是松弛变量。为了使用这个引理，我们需要将\(\Delta h_i\)转换为标准复高斯向量，令\(\Delta h_i = H_i^{1/2} \tilde{h}_i\)，其中\(\tilde{h}_i \sim \mathcal{CN}(0, I)\)。代入后得到凸近似： - \(Tr(H_i^{1/2}(C_k - \gamma_{k,min} \sum_{j = 1}^{k - 1} W_j)H_i^{1/2}) - \sqrt{-2\ln(\xi_k)\upsilon_{1i,k}} + \ln(\xi_k)\upsilon_{2i,k} + c_{i,k} \geq 0\)； - \(c_{i,k} = \hat{h}_i^{\dagger} C_k \hat{h}_i - r_{k,min}(\sigma_{k,S}^2 + \frac{\sigma_D^2}{1 - \rho})\)； - \(\left\|\begin{bmatrix}vec(H_i^{1/2}(C_k - \gamma_{k,min} \sum_{j = 1}^{k - 1} W_j)H_i^{1/2}) \\ \sqrt{2}H_i^{1/2} C_k \hat{h}_i\end{bmatrix}\right\| \leq \upsilon_{1i,k}\)； - \(\upsilon_{2i,k}I + (H_i^{1/2}(C_k - \gamma_{k,min} \sum_{j = 1}^{k - 1} W_j)H_i^{1/2}) \succ 0\)，\(\upsilon_{2i,k} \geq 0\)，对于所有\(k \in \mathcal{K}\)，\(i = \{k, \ldots, K\}\)。 对于\(C3\)，经过简单变换和应用上述不等式，得到： - \(Tr(H_k^{1/2} \Sigma H_k^{1/2}) - \sqrt{-2\ln(\xi_{k,s})\upsilon_{1k,s}} + \ln(\xi_{k,s})\upsilon_{2k,s} + c_{k,s} \geq 0\)； - \(c_{k,s} = \hat{h}_k^{\dagger} \Sigma \hat