数据结构与算法：从基础到应用

### 数据结构与算法：从基础到应用 #### 1. 难以解决的算法问题 在算法的世界里，有些算法的大O值非常大，这使得它们仅适用于相对较小的N值。许多现实世界中需要这类算法的问题，无法在合理的时间内得到解决，这类问题被称为“难以解决的问题”，也被称为NP完全问题（NP表示非确定性多项式）。 ##### 1.1 骑士巡游问题 骑士巡游问题是一个典型的难以解决的问题。在这个问题中，骑士在棋盘上移动，每一步最多有8种可能的移动方向，但随着移动的进行，由于棋盘边界和已访问格子的限制，可能的移动方向会逐渐减少。假设平均每个位置有2种可能的移动方向，骑士在访问完初始格子后，还可以访问63个格子，那么总共可能的移动序列数量约为$2^{63}$，即大约$10^{19}$种。如果一台计算机每秒能进行100万次（$10^{6}$）移动计算，一年大约有$10^{7}$秒，那么这台计算机一年能进行$10^{13}$次移动计算。因此，使用暴力方法解决这个问题大约需要$10^{6}$年，也就是大约100万年。 不过，我们可以使用一些策略来简化这个问题，例如Warnsdorff启发式算法。该算法规定，骑士总是移动到出口移动最少的格子。 ##### 1.2 旅行商问题 旅行商问题也是一个著名的难以解决的问题。假设有一位销售人员需要访问多个城市，每个城市之间的距离已知，销售人员希望从家乡城市出发，访问每个客户城市一次且仅一次，最后回到家乡城市，同时要使总行程最短。在图论中，这被称为旅行商问题，通常缩写为TSP。 为了找到最短路线，需要列出所有可能的城市排列组合，并计算每个组合的总距离。例如，有6个城市需要访问时，第一个城市有6种选择，第二个城市有5种选择，以此类推，总共有$6\times5\times4\times3\times2\times1 = 720$种可能的路线。当城市数量达到50个时，这个问题几乎无法解决。虽然有一些策略可以减少需要检查的序列数量，但效果有限。 在解决这个问题时，通常使用加权图，边的权重表示距离，顶点表示城市。如果两个城市之间的往返距离相同，那么可以使用无向图；如果权重表示机票价格，不同方向的价格可能不同，此时需要使用有向图。 ##### 1.3 哈密顿回路问题 哈密顿回路问题与旅行商问题类似，但更抽象。在图中，回路是指从一个顶点出发，最后回到该顶点的路径。哈密顿回路是指访问图中每个其他顶点恰好一次的回路。与旅行商问题不同的是，我们只关心是否存在这样的回路，而不关心距离。 例如，在某个图中，路线ABCEDA是一个哈密顿回路，而ABCDEA不是。骑士巡游问题（如果假设骑士回到起始方格）也是哈密顿回路的一个例子。 找到哈密顿回路所需的时间复杂度与旅行商问题相同，都是$O(N!)$。像$2^{N}$和$N!$这样的大O值被称为指数时间，其中$N!$的增长速度比指数函数$2^{N}$还要快。 #### 2. 加权图相关概念 在加权图中，边有一个相关的数字，称为权重，它可以表示距离、成本、时间或其他数量。 ##### 2.1 最小生成树 加权图中的最小生成树是指连接所有顶点所需的边的权重之和最小的树。可以使用优先队列算法来找到加权图的最小生成树。最小生成树可以用来模拟现实世界中的情况，例如在城市之间安装公用电缆。 ##### 2.2 最短路径问题 在无权图中，最短路径问题是指找到两个顶点之间的最少边数。而在加权图中，解决最短路径问题则是找到总边权最小的路径。Dijkstra算法可以用于解决加权图的最短路径问题。 对于大型稀疏图，使用邻接表表示图通常比使用邻接矩阵运行得更快。 ##### 2.3 所有顶点对之间的最短路径问题 所有顶点对之间的最短路径问题是指找到图中每对顶点之间的边的总权重。Floyd算法可以用于解决这个问题。 需要注意的是，有些图算法的时间复杂度是指数级的，因此对于顶点数较多的图来说，这些算法并不实用。 #### 3. 问题测试 以下是一些相关问题，可用于自我测试： |问题|选项|答案| |----|----|----| |加权图中的权重是图的_______的属性。|无|边| |在加权图中，最小生成树（MST）试图最小化_______。|a. 从起始顶点到指定顶点的边数<br>b. 连接所有顶点的边数<br>c. 从起始顶点到指定顶点的边的总权重<br>d. 连接所有顶点的边的总权重|d| |最小生成树的权重是否取决于起始顶点？|是/否|否| |在MST算法中，从优先队列中移除的是什么？|无|最小权重的边| |在有线电视示例中，添加到MST的每条边连接_______。|a. 起始顶点到相