受限循环覆盖近似问题研究

### 受限循环覆盖近似问题研究 在图论领域，受限循环覆盖问题是一个重要的研究方向，它在许多实际应用中都有出现，如交通规划、电路设计等。本文将详细探讨受限循环覆盖问题的复杂度、可近似性以及相关的算法和证明。 #### 1. 受限循环覆盖问题的复杂度概述 首先，我们来看一下计算 L - 循环覆盖的复杂度，具体信息如下表所示： | 类型 | L - UCC | Max - L - UCC | Max - W - L - UCC | | --- | --- | --- | --- | | 无向图（Undirected） | - \(L = \varnothing\)：in P<br>- \(L = \{3\}\)：in P<br>- \(L = \{4\} \vee L = \{3, 4\}\)：APX - complete<br>- else：NP - hard, APX - hard | - \(L = \varnothing\)：in PO<br>- \(L = \{3\}\)：in PO<br>- else：APX - hard | - \(L = \varnothing\)：in PO<br>- \(L = \{3\}\)：in PO<br>- else：APX - hard | | 有向图（Directed） | - \(L = \{2\} \vee L = D\)：in P<br>- else：NP - hard | - \(L = \{2\} \vee L = D\)：in PO<br>- else：APX - hard | - \(L = \{2\} \vee L = D\)：in PO<br>- else：APX - hard | 从表中可以看出，对于无向图的循环覆盖问题，当 \(L\) 为特定集合时，问题可以在多项式时间内解决，但对于大多数其他情况，问题是 NP 难和 APX 难的。有向图的情况类似，除了 \(L = \{2\}\) 或 \(L = D\) 时可以在多项式时间内解决，其他情况也是困难的。 此外，对于有向图的循环覆盖问题，已知 3 - DCC 是 NP 完全问题，并且对于所有 \(k \geq 3\)，Max - k - DCC 和 Max - W - k - DCC 是 APX 完全问题。 #### 2. 新结果 在研究中，我们取得了一些新的成果： - **硬度结果**： - 证明了对于所有 \(L \nsubseteq \{3, 4\}\)，Max - L - UCC 是 APX 难的。 - 证明了如果 \(L \nsubseteq \{3\}\)，Max - W - L - UCC 是 APX 难的，即使只允许边的权重为 0、1 和 2。 - 对于有向图的循环覆盖，展示了一个二分性：对于所有 \(L \neq \{2\}\) 且 \(L \neq D\)，L - DCC 是 NP 难的，Max - L - DCC 和 Max - W - DCC 是 APX 难的；而当 \(L = \{2\}\) 或 \(L = D\) 时，这三个问题都可以在多项式时间内解决。 - 作为副产品，证明了对于所有 \(\lambda \geq 3\)，Min - Vertex - Cover(\(\lambda\)) 是 APX 完全的。 - **算法**： - 提出了一个多项式时间的 2.5 近似算法用于 Max - W - L - UCC。 - 提出了一个 3 近似算法用于 Max - W - L - DCC，这两个算法都适用于任意的 \(L\)。 - **特殊情况**：证明了 Max - 4 - UCC 可以在多项式时间内解决。 #### 3. 通用归约方法 为了证明某些问题的 APX 难性，我们采用了从 Min - Vertex - Cover(3) 到 Max - L - UCC 或 Max - W - L - UCC 的通用归约方法。具体步骤如下： 1. **构造图 \(G\)**： - 设 \(H = (X, F)\) 是一个三次图，作为 Min - Vertex - Cover(3) 的一个实例。 - 构造一个无向完全图 \(G\) 作为 Max - L - UCC 或 Max - W - L - UCC 的通用实例，其边有权重函数 \(w\)。 2. **构建小图（Gadget）**： - 对于 \(F\) 中的每条边 \(a = \{x, y\}\)，构造 \(G\) 的一个子图 \(F_a\)，称为 \(a\) 的小图。 - 小图 \(F_a\) 包含四个特殊顶点 \(x_{in}^a\)、\(x_{out}^a\)、\(y_{in}^a\) 和 \(y_{out}^a\)，用于连接 \(F_a\) 到图的其他部分。 - 小图的具体结构取决于 \(L\)，如果小图中的所有边权重为 0 或 1，则得到 Max - L - UCC 的实例；否则，得到 Max - W - L - UCC 的实例。 3. **定义连接边的权重**： - 对于顶点 \(x \in X\) 的三条关联边 \(a, b, c \in F\)，将连接 \(x_{out}^a\) 到 \(x_{in}^b\) 和 \(x_{out}^b\) 到 \(x_{in}^c\) 的边权重设为 1，连接 \(x_{out}^c\) 到 \(x_{in}^a\) 的边权重设为 0，这些边称为 \(x\) 的连接边（Junctions）。 - 非连接边且连接两个不同小图的边称为非法边，其权重为 0。 4. **合法连接的定义**： - 对于 \(G\) 的边子集 \(C\)，如果 \(C\) 满足以下条件，则称 \(C\) 合法连接 \(F_a\)： - \(C\) 不包含与 \(F_a\) 关联的非法边。 - \(C\