数据聚类与转换方法：INTEGRATE算法与残差数据转换

# 数据聚类与转换方法：INTEGRATE算法与残差数据转换 在数据处理和分析领域，聚类是一项重要的任务，尤其是对于包含混合类型属性的数据。同时，数据转换在处理特定模式时也起着关键作用。下面将详细介绍INTEGRATE算法以及数据转换对平方残差的影响。 ## 1. 聚类编码方案与iMDL定义 ### 1.1 聚类边界与成本曲线 对于分类属性，会包含成本曲线（以相应颜色显示），其交点标记了分类属性提供的聚类边界。例如，红色垂直线，在X中值超出该点的红色对象会被分配到右侧的聚类中。在红色和蓝色垂直线之间的区域，分类值是聚类的关键信息。需要注意的是，所有边界并非固定不变，而是在算法运行过程中进行优化。 ### 1.2 聚类结果编码方案 聚类结果的编码成本可分为两类： - **参数成本（PC）**：用于指定聚类模型。对于单个聚类C，对于每个分类属性A，需要编码每个值或结果a的概率。对于具有|A|个可能值的分类属性，需要编码|A| - 1个概率。对于每个数值属性B，需要编码概率密度函数（PDF）的参数μB和σB。根据MDL理论，聚类中|C|个对象的参数成本可以近似为p/2 · log₂ |C|，其中p表示参数的数量。参数成本与聚类中对象的数量呈对数关系。具体而言，聚类C的参数成本为： \[PC(C) = \frac{1}{2} \cdot ((\sum_{A_{cat}} |A| - 1) + |B_{num}| \cdot 2) \cdot log₂ |C|\] 这里Acat表示所有分类属性，Bnum表示所有数值属性。 - **ID成本（IDC）**：用于指定每个对象所属的聚类ID。采用霍夫曼编码原则，为较大的聚类分配较短的位串。聚类C的ID成本为： \[IDC(C) = log₂ \frac{n}{|C|}\] ### 1.3 iMDL定义 iMDL是综合聚类的信息论优化目标，定义为： \[iMDL = \sum_{C} (\sum_{A} |C| \cdot CC(A)) + PC(C) + IDC(C)\] 对于所有聚类C，对所有数值和分类属性A的编码成本求和，再加上聚类的参数成本和ID成本。 ## 2. INTEGRATE算法 ### 2.1 算法概述 INTEGRATE算法基于新的MDL准则iMDL，用于对包含混合类型属性的数据集DS进行聚类。其目标是通过优化整体压缩率，找到数据集的最优聚类。 ### 2.2 算法步骤 - **初始化**： - 选择k个随机对象的数值属性的μ作为聚类代表。 - 在每个数值维度中设置σ = 1.0。 - 将分类属性值的概率设置为1/|a|。 - 选择1/z n个随机对象（n是DS的大小，z = 10效果较好）。 - 在m次初始化运行中，选择使iMDL最小的聚类结果，通常m = 100次运行即可获得有效结果。 - **迭代过程**： 1. 确定当前聚类划分的编码成本。 2. 进行对象到聚类的分配，以降低iMDL值。 3. 重新计算每个聚类的新参数（数值维度的μ和σ，以及分类属性值的概率）。 - **终止条件**：当聚类分配不再发生变化时，算法终止，得到基于最小编码成本的最优聚类。 ### 2.3 自动选择聚类数量k INTEGRATE可以避免手动指定参数k。通过在1 ≤ k ≤ n的范围内估计每个k的编码成本，在DS的z%样本上进行迭代。成本函数的全局最小值给出最优的k，即最优的聚类数量。 ## 3. 实验评估 ### 3.1 合成数据实验 - **分类属性值比例变化**：生成包含1500个点的三维合成数据集，包含两个数值和一个二值分类属性。改变分类属性值的比例，INTEGRATE在所有情况下表现最佳，即使在值均匀分布（5:5）时，其聚类质量也优于其他方法。 - **聚类方差变化**：生成具有不同方差（0.5 - 2.0）的合成数据集，INTEGRATE在所有情况下都优于竞争对手。在方差为2.0时，数值属性几乎不包含聚类信息，此时分类属性用于分离聚类，INTEGRATE表现最佳，而k - modes表现最差。 - **聚类大小变化**：生成具有不同方差和不同聚类大小比例（从1:10:1到10:1:10）的合成数据集，INTEGRATE在大多数情况下能最好地分离三个聚类，仅在两个小聚类和一个大聚类（1:10:1）的情况下，k - modes的聚类有效性略有优势。 - **数值维度数量变化**：保持分类属性数量不变，逐步增加数值维度（方差σ = 1.8），INTEGRATE在所有情况下表现最佳，除k - modes外，其他方法的聚类质量略有提高。 -